Теория: 05 Выбор числа из числового промежутка - 1

\(\displaystyle P(A_1)=P(2x < 0{,}3)=\,?{\small}\)

Выясним сначала, какому неравенству должно удовлетворять случайное число \(\displaystyle x{\small.}\)

Для этого разделим на \(\displaystyle 2{\small}\) обе части неравенства \(\displaystyle 2x < 0{,}3{\small.}\) Получим равносильное неравенство

\(\displaystyle x < 0{,}15{\small.}\)

Найдём \(\displaystyle P(x < 0{,}15){\small}\) –  вероятность того, что случайно выбранное из отрезка \(\displaystyle [0;\,1]\) число \(\displaystyle x\) окажется меньше \(\displaystyle 0{,}15{\small.}\)

На числовой прямой синим цветом изобразим отрезок \(\displaystyle \color{blue}{[0;\,1]}{\small.}\)

На этом отрезке красным цветом изобразим множество точек, соответствующих неравенству \(\displaystyle {x < 0{,}15}{\small:}\)

Получили красный полуинтервал \(\displaystyle \color {red}{[0; \, 0{,}15)}\) –  множество точек \(\displaystyle 0 \leqslant x < 0{,}15{\small.}\)

Тогда задачу можно переформулировать следующим образом:

\(\displaystyle “\)найти вероятность того, что случайная точка с координатой \(\displaystyle x{\small}\) из отрезка \(\displaystyle [0;\,1]\) принадлежит полуинтервалу \(\displaystyle [0; \, 0{,}15)"{\small.}\)

Так как случайно выбранное из отрезка число принимает одно конкретное значение с нулевой вероятностью, то вероятность попадания числа в полуинтервал \(\displaystyle \color {red}{[0; \, 0{,}15)}\) и в отрезок \(\displaystyle \color {red}{[0; \, 0{,}15]}\) совпадают. Получаем:

\(\displaystyle P(0 \leqslant x < 0{,}15)=P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}15){\small.}\)

Для нахождения \(\displaystyle P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}15){\small}\) воспользуемся формулой геометрической вероятности:

\(\displaystyle P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}15)=\frac{\small{длина}\,\, \color {red}{[0; \, 0{,}15]}}{\small{длина}\,\, \color {blue}{[0;\,1]}}=\frac{0{,}15-0}{1-0}=\frac{0{,}15}{1}=0{,}15{\small.}\)

Таким образом, 

\(\displaystyle P(A_1)=P(2x < 0{,}3)=P(x < 0{,}15)=P(0 \leqslant x < 0{,}15)=P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}15)=0{,}15{\small.}\)

\(\displaystyle P(A_2)=P(2x > 0{,}7)=\,?{\small}\)

Выясним сначала, какому неравенству должно удовлетворять случайное число \(\displaystyle x{\small.}\)

Для этого разделим на \(\displaystyle 2{\small}\) обе части неравенства \(\displaystyle 2x > 0{,}7{\small.}\) Получим равносильное неравенство

\(\displaystyle x > 0{,}35{\small.}\)

Найдём \(\displaystyle P(x > 0{,}35){\small}\) –  вероятность того, что случайно выбранное из отрезка \(\displaystyle [0;\,1]\) число \(\displaystyle x\) окажется больше \(\displaystyle 0{,}35{\small.}\)

На числовой прямой синим цветом изобразим отрезок \(\displaystyle \color{blue}{[0;\,1]}{\small.}\)

На этом отрезке красным цветом изобразим множество точек, соответствующих неравенству \(\displaystyle {x > 0{,}35}{\small:}\)

Получили красный полуинтервал \(\displaystyle \color {red}{(0{,}35; \, 1]}\) –  множество точек \(\displaystyle 0{,}35 < x \leqslant 1{\small.}\)

Тогда задачу можно переформулировать следующим образом:

\(\displaystyle “\)найти вероятность того, что случайная точка с координатой \(\displaystyle x{\small}\) из отрезка \(\displaystyle [0;\,1]\) принадлежит полуинтервалу \(\displaystyle (0{,}35; \, 1]"{\small.}\)

Так как случайно выбранное из отрезка число принимает одно конкретное значение с нулевой вероятностью, то вероятность попадания числа в полуинтервал \(\displaystyle \color {red}{(0{,}35; \, 1]}{\small}\) и в отрезок \(\displaystyle \color {red}{[0{,}35; \, 1]} {\small}\) совпадают. Получаем:

\(\displaystyle P(0{,}35 < x \leqslant 1)=P(0{,}35 \leqslant x \leqslant 1){\small.}\)

Для нахождения \(\displaystyle P(0{,}35 \leqslant x \leqslant 1){\small}\) воспользуемся формулой геометрической вероятности:

\(\displaystyle P(0{,}35 \leqslant x \leqslant 1)=\frac{\small{длина}\,\, \color {red}{[0{,}35; \, 1]}}{\small{длина}\,\, \color {blue}{[0; \, 1]}}=\frac{1-0{,}35}{1-0}=\frac{0{,}65}{1}=0{,}65{\small.}\)

Таким образом, 

\(\displaystyle P(A_2)=P(2x > 0{,}7)=P(x > 0{,}35)=P(0{,}35<x \leqslant 1)=P(0{,}35 \leqslant x \leqslant 1)=0{,}65{\small.}\)