Skip to main content

Теория: 07 Формула Герона

Задание

Найдите площадь трапеции с основаниями \(\displaystyle 54\) и \(\displaystyle 18\) и боковыми сторонами \(\displaystyle 21\) и \(\displaystyle 33\small.\)

216\sqrt{10}
Решение

Построим рисунок к задаче:

Основания трапеции:

  • \(\displaystyle BC=18\small,\)
  • \(\displaystyle AD=54\small.\)

Боковые стороны:

  • \(\displaystyle AB=21\small,\)
  • \(\displaystyle CD=33\small.\)

Для нахождения площади трапеции нужно найти высоту трапеции \(\displaystyle CH{\small.}\)Сделаем дополнительное построение.


Построим треугольник с известными сторонами, для которого \(\displaystyle CH\) будет высотой.
Через точку \(\displaystyle C\)  проведем прямую, параллельную стороне \(\displaystyle AB\small,\) до пересечения с основанием \(\displaystyle AD\) в точке \(\displaystyle K\small.\)

Высота трапеции \(\displaystyle CH\)  является высотой треугольника \(\displaystyle CKD\small,\) стороны которого известны:

\(\displaystyle CK=21\small,\) \(\displaystyle CD=33\small,\) \(\displaystyle KD=AD-BC=36\small.\)

Найдем высоту трапеции \(\displaystyle CH\) из треугольника \(\displaystyle CKD{\small .} \) Для этого посчитаем площадь \(\displaystyle CKD\)двумя способами:

  • через формулу Герона
  • и произведение высоты \(\displaystyle CH \) на основание \(\displaystyle KD{\small .} \)

\(\displaystyle p=\frac{CK+CD+KD}{2}=\frac{21+33+36}{2}=45\small,\)

\(\displaystyle S_{CKD}=\sqrt{45\cdot (45-21)\cdot (45-33)\cdot (45-36)}=\sqrt{45\cdot24\cdot12\cdot9}=108\sqrt{10}\small.\)
 

Найдем площадь треугольника \(\displaystyle CKD\) как произведение половины основания на высоту:

\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot KD\cdot CH\small.\)

Выразим \(\displaystyle CH\small{:}\)

\(\displaystyle CH=\frac{2S}{KD}=\frac{2\cdot108\sqrt{10}}{36}=6\sqrt{10}\small.\)

Найдем площадь трапеции \(\displaystyle ABCD{\small .} \)

\(\displaystyle S=\frac{AD+BC}{2}\cdot CH=\frac{54+18}{2}\cdot 6\sqrt{10}=216\sqrt{10}\small.\)

Ответ:\(\displaystyle 216\sqrt{10}\small.\)