Теория: 07 Формула Герона

В параллелограмме \(\displaystyle ABCD\) известны следующие величины: \(\displaystyle AD=28\small,\) \(\displaystyle AC=34\small,\) \(\displaystyle BD=30\small.\) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: \(\displaystyle AO=OC=17\small,\) \(\displaystyle BO=OD=15\small.\)

Диагонали разбивают параллелограмм на \(\displaystyle 4\) треугольника. Покажем, что площади всех четырех треугольников равны.

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ACD\small.\)

Проведем высоту \(\displaystyle DH\) в треугольнике \(\displaystyle ACD\small.\) \(\displaystyle DH\) также является высотой треугольников \(\displaystyle AOD\) и \(\displaystyle COD\small.\) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \(\displaystyle S_{AOD}=\frac{AO\cdot DH}{2}\) и \(\displaystyle S_{COD}=\frac{CO\cdot DH}{2}\small.\) Поскольку \(\displaystyle AO=CO\small,\) выражения для площадей одинаковые и \(\displaystyle S_{AOD}=S_{COD}\small.\)

Рассматривая треугольники \(\displaystyle BCD\) и \(\displaystyle ABC{\small,}\) получаем:

\(\displaystyle S_{AOD}=S_{COD}=S_{COB}=S_{BOA}\small.\)

Значит, площадь параллелограмма \(\displaystyle ABCD\) в \(\displaystyle 4\) раза больше площади треугольника \(\displaystyle AOD\small{:}\)

\(\displaystyle S_{ABCD}=4\cdot S_{AOD}\small.\)
 

\(\displaystyle p=\frac{OD+AO+AD}{2}=\frac{15+17+28}{2}=30\small,\)
 

\(\displaystyle S_{AOD}=\sqrt{30\cdot (30-15)\cdot (30-17)\cdot (30-28)}=\sqrt{30\cdot 15\cdot 13\cdot 2}=30\sqrt{13}\small.\)
 

Тогда

\(\displaystyle S_{ABCD}=4\cdot S_{AOD}=120\sqrt{13}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 120\sqrt{13}\small.\)