Skip to main content

Теория: 07 Формула Герона

Задание

Внутри треугольника \(\displaystyle ABC\) со сторонами \(\displaystyle AB=10,\,AC=21,\,BC=17\) отметили точку \(\displaystyle M\small.\) Оказалось, что расстояние от точки \(\displaystyle M\) до стороны \(\displaystyle AC\) равно \(\displaystyle 2\small,\) а до стороны \(\displaystyle BC\) равно \(\displaystyle 4\small.\) Найдите расстояние от точки \(\displaystyle M\) до прямой \(\displaystyle AB\small.\)

5,8
Решение

Построим рисунок к задаче:

Соединим точку \(\displaystyle M\) с вершинами треугольника.

Отметим, что длины высот получившихся треугольников и есть расстояния от точки \(\displaystyle M\) до соответствующих сторон.

Треугольник \(\displaystyle ABC\) разбился на три треугольника: \(\displaystyle AMB,\,BMC\) и \(\displaystyle AMC\small.\) Тогда

\(\displaystyle S_{ABC}=S_{AMC}+S_{BMC}+S_{AMB}\small.\)

Высота треугольника \(\displaystyle AMB\) является расстоянием от точки \(\displaystyle M\) до стороны \(\displaystyle AB\small.\)

Поэтому, чтобы найти расстояние от точки \(\displaystyle M\) до стороны \(\displaystyle AB{\small:}\)

  • найдем площади треугольников \(\displaystyle ABC,\,BMC\) и \(\displaystyle AMC\small,\)
  • найдем площадь треугольника \(\displaystyle AMB\small,\)
  • из площади треугольника \(\displaystyle AMB\) найдем его высоту.
     

1. Зная все стороны треугольника \(\displaystyle ABC\small,\) найдем его площадь по формуле Герона.

Находим полупериметр:

\(\displaystyle p=\frac{10+21+17}{2}=24\)

Тогда

\(\displaystyle S_{ABC}=\sqrt{24\cdot(24-10)(24-21)(24-17)}=\sqrt{24\cdot14\cdot3\cdot7}=84\small.\)
 

Найдем площади треугольников \(\displaystyle BMC\) и \(\displaystyle AMC\small.\) Для этого воспользуемся тем, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

  • \(\displaystyle S_{BMC}=\frac{BC\cdot MH}{2}=\frac{17\cdot4}{2}=34\small,\)
  • \(\displaystyle S_{AMC}=\frac{AC\cdot ML}{2}=\frac{21\cdot2}{2}=21\small.\)


    2. Найдем площадь треугольника \(\displaystyle AMB\small.\)

    Для этого подставим в формулу известные значения  площадей \(\displaystyle ABC,\,BMC\) и \(\displaystyle AMC{\small:}\)

    \(\displaystyle S_{ABC}=S_{AMC}+S_{BMC}+S_{AMB}\small,\)

    \(\displaystyle 84=21+34+S_{AMB}\small.\)

    Значит,

    \(\displaystyle S_{AMB}=84-21-34=29\small.\)
     

    3. Найдем высоту треугольника \(\displaystyle AMB\small.\)

    Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Тогда, если обозначить высоту треугольника \(\displaystyle AMB\) за \(\displaystyle h\small,\) то

    \(\displaystyle S_{AMB}=\frac{AB\cdot h}{2}\small,\)

    \(\displaystyle 29=\frac{10h}{2}\small,\)

    \(\displaystyle h=5{,}8\small.\)

    Ответ: \(\displaystyle h=5{,}8\small.\)