В ящике \(\displaystyle 4\) красных и \(\displaystyle 5\) зеленых шаров. Из ящика по очереди извлекают два шара, шары не возвращаются обратно. Какова вероятность того, что первый шар будет красным, а второй шар – зеленым?
В коробке лежат \(\displaystyle \color{red}{4}\) красных и \(\displaystyle \color{green}{5}\) зеленых шара. Значит, всего в коробке
\(\displaystyle \color{red}{4}+\color{green}{5}=9 \) шаров.
Из коробки случайным образом выбирают \(\displaystyle 2\) шара. Требуется найти вероятность того, что первым из коробки достанут красный шар, вторым достанут зеленый шар.
Обозначим через \(\displaystyle A\) событие "первым вытащили красный шар, вторым - зеленый шар".
Обозначим элементарное событие:
- \(\displaystyle K \) – "вытащили красный шар".
Событие \(\displaystyle A\) наступает при условии наступления события \(\displaystyle K.\)
Поэтому вероятность наступления события \(\displaystyle A\) найдем по формуле условной вероятности.
Формула условной вероятности
Для данных двух событий \(\displaystyle A \) и \(\displaystyle B{ \small ,} \) таких, что событие \(\displaystyle B\) включает в себя событие \(\displaystyle A, \) выполняется
\(\displaystyle {\rm P}(A)={\rm P}(B)\cdot {\rm P}_{B}(A),\)
где \(\displaystyle {\rm P}_{B}(A) \) вероятность наступления события \(\displaystyle A \) при условии, что событие \(\displaystyle B \) произошло.
В нашем случае
\(\displaystyle P(A)=P(K) \cdot P_{K}(A) \small,\)
где \(\displaystyle P(K)\) – это вероятность вытащить красный шар,
и \(\displaystyle P_K(A)\) – это условная вероятность события вытащить зеленый шар при условии, что первый шар красный.
Найдем вероятность события \(\displaystyle K.\)
Первоначально в ящике лежат \(\displaystyle 9 \) шаров, из них \(\displaystyle \color{red} 4\) красных. Значит, вероятность вытащить красный шар равна \(\displaystyle \frac{\color{red}4}{9},\) то есть
\(\displaystyle P( \text{\scriptsize первым вытащить красный шар})=P(K)=\frac{\color{red}4}{9} .\)
Найдем условную вероятность события \(\displaystyle A \) при условии, что событие \(\displaystyle K\) произошло.
После того, как из ящика вытащили один красный шар, в ящике осталось \(\displaystyle 8 \) шаров, из них \(\displaystyle \color{green}5 \) зеленых. Значит, вероятность вытащить зеленый шар равна \(\displaystyle \frac{\color{green}5}{8},\) то есть
\(\displaystyle P( \text{\scriptsize вытащить зеленый шар при условии, что первым вытащили красный шар})=P_K(A)=\frac{\color{green}5}{8}.\)
Вычислим вероятность события \(\displaystyle A\small.\)
\(\displaystyle P(A)=P(K) \cdot P_K(A)=\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8}=\frac{1}{9} \cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{18}\small. \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{5}{18}.\)