В ящике \(\displaystyle 7\) красных и \(\displaystyle 3\) зеленых шара. Наудачу извлекаются три шара. Какова вероятность того, что будут извлечены два красных шара и один зеленый шар?
Число благоприятных исходов равно числу троек шаров, из которых два красных и один зеленый. Количество способов выбрать \(\displaystyle 2\) красных шара из \(\displaystyle 7\) равно числу сочетаний из \(\displaystyle 7\) по \(\displaystyle 2{\small ,}\)
\(\displaystyle C_{7}^{2}=\frac{7!}{2!\cdot (7-2)!}=\frac{7\cdot 6}{2}=21{\small .}\)
Количество способов выбрать \(\displaystyle 1\) зеленый шар из \(\displaystyle 3\) равно числу сочетаний из \(\displaystyle 3\) по \(\displaystyle 1{\small ,}\)
\(\displaystyle C_{3}^{1}=\frac{3!}{1!\cdot (3-1)!}=\frac{3}{1}=3{\small .}\)
Количество троек шаров, из которых два красных и один зеленый, составляет
\(\displaystyle 21\cdot 3=63{\small .}\)
Число всех исходов равно числу всех троек шаров, то есть равно числу сочетаний из \(\displaystyle 7+3\) по \(\displaystyle 3{\small .}\)
Оно равно \(\displaystyle C_{10}^{3}=\frac{10!}{3!\cdot (10-3)!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{2\cdot 3}=120{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle P(\)два шара красные и один зеленый\(\displaystyle )=\frac{63}{120}=\frac{21}{40}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{21}{40}{\small .}\)