В ящике \(\displaystyle 8\) красных и \(\displaystyle 3\) зеленых шара. Наудачу извлекаются три шара. Какова вероятность того, что они будут одноцветными?
Надо найти вероятность события, что три шара одного цвета, то есть
три шара красные или три шара зеленые.
Так как события "три шара красные" и "три шара зеленые" не могут произойти одновременно, то данные события несовместны, и мы можем применить правило.
Формула сложения вероятностей несовместных событий
Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей:
\(\displaystyle P(A \cup B)=P(A) + P(B){\small.}\)
\(\displaystyle P(\)три шара красные \(\displaystyle \cup\) три шара зеленые\(\displaystyle )=P(\)три шара красные\(\displaystyle )+P(\)три шара зеленые\(\displaystyle ){\small .}\)
Число благоприятных исходов равно числу троек красных шаров, то есть равно числу сочетаний из \(\displaystyle 8\) по \(\displaystyle 3{\small .}\)
Оно равно \(\displaystyle C_{8}^{3}=\frac{8!}{3!\cdot (8-3)!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2}=56{\small .}\)
Число всех исходов равно числу всех троек шаров, то есть равно числу сочетаний из \(\displaystyle 8+4\) по \(\displaystyle 3{\small .}\)
Оно равно \(\displaystyle C_{11}^{3}=\frac{11!}{3!\cdot (11-3)!}=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{6}=165{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle P(\)три шара красные\(\displaystyle )=\color{red}{\frac{56}{165}}{\small .}\)
Число благоприятных исходов равно числу троек зеленых шаров, то есть равно числу сочетаний из \(\displaystyle 3\) по \(\displaystyle 3{\small .}\)
Оно равно \(\displaystyle C_{3}^{3}=\frac{3!}{3!\cdot (3-3)!}=\frac{1}{1}=1{\small .}\)
Число всех исходов равно числу всех троек шаров, то есть равно числу сочетаний из \(\displaystyle 8+4\) по \(\displaystyle 3{\small .}\)
Оно равно \(\displaystyle C_{11}^{3}=\frac{11!}{3!\cdot (11-3)!}=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{6}=165{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle P(\)три шара зеленые\(\displaystyle )=\color{green}{\frac{1}{165}}{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle P(\)три шара красные \(\displaystyle \cup\) три шара зеленые\(\displaystyle )=P(\)три шара красные\(\displaystyle )+P(\)три шара зеленые\(\displaystyle )=\)
\(\displaystyle =\color{red}{\frac{56}{165}}+\color{green}{\frac{1}{165}}=\frac{56+1}{165}=\frac{19}{55}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{19}{55}{\small .}\)