Skip to main content

Теория: Задачи (короткая версия)

Задание

В окружности проведены хорды \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\small,\) пересекающиеся в точке \(\displaystyle M\small.\) Точка \(\displaystyle L\) – точка пересечения биссектрисы угла \(\displaystyle BMD\) с хордой \(\displaystyle BD\small.\) Найдите отрезки \(\displaystyle BL\) и \(\displaystyle LD\small,\) если \(\displaystyle BD=8\small,\) а площади треугольников \(\displaystyle CMB\) и \(\displaystyle AMD\) относятся как \(\displaystyle 1:4\small.\)

\(\displaystyle BL=\) 
\frac{8}{3}
  и \(\displaystyle DL=\) 
\frac{16}{3}
Решение

Построим рисунок к задаче:

\(\displaystyle S_{CMB}:S_{AMD}=1:4\small.\)

 

Чтобы решить задачу:

  • найдем отношение отрезков \(\displaystyle BM\) и \(\displaystyle DM\small,\)
  • найдем отношение и длины отрезков \(\displaystyle BL\) и \(\displaystyle DL\small.\)

    Найдем отношение отрезков \(\displaystyle BM\) и \(\displaystyle DM{\small:}\)

    \(\displaystyle DM:BM=2:1\small.\)

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности, равны. Отметим равные углы:

    \(\displaystyle \angle DAB=\angle DCB\) и \(\displaystyle \angle ADC=\angle ABC\small.\)

    Тогда треугольники \(\displaystyle AMD\) и \(\displaystyle CMB\) подобны по двум углам.

    Значит, отношение сторон равно коэффициенту подобия

    \(\displaystyle k=\frac{DM}{BM}\small,\)

    а отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

    \(\displaystyle k^2=\frac{S_{AMD}}{S_{CMB}}=4\small.\)

    Тогда

    \(\displaystyle k=\sqrt{4}=2\)

    и

    \(\displaystyle \frac{DM}{BM}=k=2\small.\)

    Поскольку \(\displaystyle ML\) – биссектриса треугольника \(\displaystyle BMD\small,\) то по свойству биссектрисы:

    \(\displaystyle \frac{DL}{BL}=\frac{DM}{BM}=2\small.\)

    По условию, \(\displaystyle BD=8\small.\)

    Тогда \(\displaystyle DL+BL=BD=8\) и \(\displaystyle DL:BL=2:1\small,\) получаем

    \(\displaystyle DL=8\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{3}\) и \(\displaystyle BL=8\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{3}\small.\)

    Ответ: \(\displaystyle BL=\frac{8}{3}\) и \(\displaystyle DL=\frac{16}{3}\small.\)