Skip to main content

Теория: Задачи (короткая версия)

Задание

Две окружности пересекаются в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\small.\) Проведены хорды \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle AD\) этих окружностей так, что хорда одной окружности касается другой окружности. Найдите \(\displaystyle AB\small,\) если \(\displaystyle CB = 6,\, DB = 4\small.\)

\(\displaystyle AB=\)
2\cdot\sqrt{6}
Решение

Построим рисунок к задаче:

Чтобы найти равные углы, воспользуемся правилом:

Правило

Угол между хордой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на данную хорду.

 

\(\displaystyle \angle ABD=\angle ACB\small.\)

Получаем:

  • \(\displaystyle AC\) – касательная, значит, \(\displaystyle \angle CAB=\angle ADB\small,\)
  • \(\displaystyle AD\) – касательная, значит, \(\displaystyle \angle DAB=\angle ACB\small.\)

Тогда треугольники \(\displaystyle CAB\) и \(\displaystyle ADB\) подобны по двум углам. Получаем:

\(\displaystyle \frac{CB}{AB}=\frac{AB}{BD}\small.\)


Подставим известные значения \(\displaystyle CB = 6{ \small ,}\)\(\displaystyle DB = 4\) и найдем \(\displaystyle AB{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{6}{AB}=\frac{AB}{4}\small,\)

\(\displaystyle AB^2=6\cdot4\small.\)


Длина стороны неотрицательное число, значит,

\(\displaystyle AB=\sqrt{6\cdot4}=2\sqrt{6}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle AB=2\sqrt{6}\small.\)