Skip to main content

Теория: Задачи (короткая версия)

Задание

Четырехугольник \(\displaystyle ABCD\) вписан в окружность. Диагональ \(\displaystyle AC\) является биссектрисой угла \(\displaystyle BAD\) и пересекается с диагональю \(\displaystyle BD\) в точке \(\displaystyle K\small.\) Найдите \(\displaystyle KC\small,\) если \(\displaystyle BC = 4\) и \(\displaystyle AK = 6\small.\)

\(\displaystyle KC=\)
2
Решение

Построим рисунок к задаче:

\(\displaystyle AC\) – биссектриса угла \(\displaystyle BAD\small,\) тогда

\(\displaystyle \angle BAC=\angle DAC\small.\)

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности, равны. Отметим равные углы:

  • \(\displaystyle \angle CAD=\angle CBD\small,\)
  • \(\displaystyle \angle CAB=\angle CDB\small.\)

    Треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle BKC\) подобны по двум углам:

    \(\displaystyle \angle CAB=\angle CBK\) и \(\displaystyle \angle ACB=\angle BCK\small.\)

    Тогда

    \(\displaystyle \frac{AC}{BC}=\frac{BC}{KC}\small.\)


    По условию \(\displaystyle BC = 4\) и \(\displaystyle AK = 6\small.\) Обозначим длину \(\displaystyle KC\) за \(\displaystyle x\small.\) Тогда

    \(\displaystyle AC=AK+KC=6+x\small.\)

     

    Подставим соответствующие значения в пропорцию:

    \(\displaystyle \frac{6+x}{4}=\frac{4}{x}\small.\)

    Упростим выражение

    \(\displaystyle (6+x)x=4\cdot4\small,\)

    \(\displaystyle x^2+6x-16=0\small.\)

    Решим данное квадратное уравнение:

    \(\displaystyle x=2\) или \(\displaystyle x=-8\small.\)

    Длина стороны неотрицательное число, значит,

    \(\displaystyle KC=x=2\small.\)

    Ответ: \(\displaystyle KC=2\small.\)