Skip to main content

Теория: 10 Сложение неравенств и оценивание значения выражения

Задание

Укажите неравенства, которые гарантированно выполняются при \(\displaystyle m>7\) и \(\displaystyle n>2{\small .}\)

Решение

Известно, что верны числовые неравенства \(\displaystyle m>7\) и \(\displaystyle n>2{\small .}\)

Установим, верны ли при данных условиях неравенства  \(\displaystyle m+n>9{\small,}\,\,m+n>7{\small}\) и \(\displaystyle m+n>10{\small.}\)
 

Верно, что \(\displaystyle m+n>9{\small.}\)

Воспользуемся теоремой о сложении неравенств. 

Правило

Сложение неравенств

Если для чисел \(\displaystyle \color{blue}{a},\, \color{green}{b},\, \color{blue}{x},\, \color{green}{y}\) верно, что

\(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}\) и  \(\displaystyle \color{blue}{x}<\color{green}{y}{\small,}\)

то

\(\displaystyle \color{blue}{a}+\color{blue}{x}<\color{green}{b}+\color{green}{y}{\small.}\)

Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Исходные неравенства имеют одинаковые знаки, поэтому можем их сложить:

\(\displaystyle\begin{aligned}\underset{{\ \ \ \ \ \ \ \text{ ---------------------------------}}}{{+}\begin{aligned}\,\, \color{blue}{m}&>\color{green}{7}{\small}\\\color{blue}{n}&>\color{green}{2}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{blue}{m}+\color{blue}{n}>\color{green}{7}+\color{green}{2}{\small\ \ \ \ \ }\end{aligned}\)

или 

\(\displaystyle m+n>9{\small.}\)

Верно, что \(\displaystyle m+n>7{\small.}\)

Ранее получили, что для \(\displaystyle m>7\) и \(\displaystyle n>2\) верно неравенство \(\displaystyle m+n>9{\small.}\)

Кроме того, \(\displaystyle 9>7{\small.}\) 

Тогда 

\(\displaystyle m+n>9>7{\small,}\) 

По свойству транзитивности неравенств получаем:

\(\displaystyle m+n>7{\small.}\)

Неверно, что \(\displaystyle m+n>10{\small.}\)

По условию \(\displaystyle m>7\) и \(\displaystyle n>2{\small .}\) Попробуем подобрать такие значения \(\displaystyle m\) и \(\displaystyle n{\small ,}\) чтобы неравенство

\(\displaystyle m+n>10\)

оказалось неверно.

Возьмём \(\displaystyle m=7{,}5\) и \(\displaystyle n=2{,}1{\small .}\)

Тогда их сумма 

\(\displaystyle m+n=7{,}5+2{,}1=9{,}6<10{\small.}\)
 

То есть нельзя утверждать, что для любых \(\displaystyle m>7\) и \(\displaystyle n>2{\small }\) сумма \(\displaystyle m+n>10{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle m+n>9{\small}\) и \(\displaystyle m+n>10{\small.}\)