Известно, что \(\displaystyle 3<a<4\) и \(\displaystyle 7<b<8{\small .}\) Оцените сумму \(\displaystyle 2a+3b{\small .}\)
Оценим сначала \(\displaystyle 2a{\small ,}\) потом \(\displaystyle 3b{\small,}\) а потом их сумму \(\displaystyle 2a+3b{\small .}\)
1. Умножим все части неравенства \(\displaystyle 3<a<4\) на \(\displaystyle \color{Blue}{2>0}{\small :}\)
\(\displaystyle 3<a<4{\small,}\)
\(\displaystyle \color{Blue}{2}\cdot 3<\color{Blue}{2}\cdot a<\color{Blue}{2}\cdot 4{\small ,}\)
\(\displaystyle 6<\color{Blue}{2}a<8{\small .}\)
2. Умножим все части неравенства \(\displaystyle 7<b<8\) на \(\displaystyle \blue{3>0}{\small :}\)
\(\displaystyle 7<b<8{\small,}\)
\(\displaystyle \blue{3}\cdot 7<\blue{3}\cdot b<\blue{3}\cdot 8{\small ,}\)
\(\displaystyle 21<\blue{3}b<24{\small .}\)
3. Теперь сложим полученные двойные неравенства одного знака по правилу
Сложение неравенств
Если для чисел \(\displaystyle \color{blue}{a},\, \color{green}{b},\, \color{blue}{x},\, \color{green}{y}\) верно, что
\(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}\) и \(\displaystyle \color{blue}{x}<\color{green}{y}{\small,}\)
то
\(\displaystyle \color{blue}{a}+\color{blue}{x}<\color{green}{b}+\color{green}{y}{\small.}\)
Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
\(\displaystyle \begin{aligned}\underset{{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ ------------------------------------------}}}{{+}\begin{aligned}\,\, \color{orange}{6}<\color{blue}{2}a&<\color{green}{8}{\small}\\\color{orange}{21}<\blue {3}b&<\color{green}{24}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{orange}{6}+\color{orange}{21}<\color{blue}2{a}+\blue3{b}<\color{green}{8}+\color{green}{24}{\small,} \\27<2a+3b<32 {\small. \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 27<2a+3b<32{\small.}\)