Skip to main content

Теория: 28 Прямоугольная трапеция и её свойства -1

Задание

В прямоугольной трапеции основания равны \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 5{\small,}\) а один из углов равен \(\displaystyle 135^{\circ}{\small.}\) Найдите меньшую боковую сторону данной трапеции.

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольная трапеция:

  • \(\displaystyle \angle A= \angle B=90^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle C=135^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=3{\small,}\) \(\displaystyle AD=5\) – основания.

Требуется найти меньшую боковую сторону данной трапеции, то есть найти сторону \(\displaystyle AB{\small.}\)

\(\displaystyle \angle D=45^{\circ}{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Из вершины \(\displaystyle C\) проведём высоту \(\displaystyle CH{\small.}\)

В четырёхугольнике \(\displaystyle ABCH\) все углы прямые, поэтому он является прямоугольником.

В прямоугольнике противоположные стороны попарно равны, значит,

\(\displaystyle \color{red}{AB}=CH{\small;}\)

\(\displaystyle AH=BC=3{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle HD=AD-AH=5-3=2{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle CDH{\small.}\)

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90^{\circ}{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle \angle HCD=90^{\circ}-\angle HDC{\small;}\)

\(\displaystyle \angle HCD=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}{\small.}\)

Так как острые углы прямоугольного треугольника \(\displaystyle CDH\) равны, то \(\displaystyle \triangle CDH\) – равнобедренный.

То есть

\(\displaystyle CH=HD=2{\small.}\)

В результате получаем:

\(\displaystyle \color{red}{AB}=CH=2{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 2{\small.}\)