Skip to main content

Теория: 28 Прямоугольная трапеция и её свойства -1

Задание

Острый угол прямоугольной трапеции равен \(\displaystyle 60^{\circ}{\small.}\) Найдите боковую сторону трапеции при этом угле, если её основания равны \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 9{\small.}\)

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольная трапеция:

  • \(\displaystyle \angle A= \angle B=90^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=5{\small,}\) \(\displaystyle AD=9\) – основания;
  • \(\displaystyle \angle ADC=60^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти боковую сторону \(\displaystyle CD{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Из вершины \(\displaystyle C\) проведём высоту \(\displaystyle CH{\small.}\)

В четырёхугольнике \(\displaystyle ABCH\) все углы прямые, поэтому он является прямоугольником.

В прямоугольнике противоположные стороны попарно равны, значит,

\(\displaystyle AH=BC=5{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle HD=AD-AH=9-5=4{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle CDH{\small.}\)

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90^{\circ}{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle \angle HCD=90^{\circ}-\angle HDC{\small;}\)

\(\displaystyle \angle HCD=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}{\small.}\)

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в \(\displaystyle 30^{\circ}{\small,}\) равен половине гипотенузы.

Следовательно,

\(\displaystyle CD=2 \cdot HD=2 \cdot 4=8{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 8{\small.}\)