Skip to main content

Теория: Задачи-1

Задание

Точка \(\displaystyle M\) удалена на расстояние, равное \(\displaystyle 5,\) от центра окружности, радиус которой равен \(\displaystyle R=7\small.\) Через \(\displaystyle M\) провели хорду, равную \(\displaystyle 12\small.\) Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой \(\displaystyle M\small.\)

6+2\sqrt{3}
  и  
6-2\sqrt{3}
Решение

Построим рисунок к задаче.

Точка \(\displaystyle O\) – центр окружности.

Хорда \(\displaystyle AB\) проходит через \(\displaystyle M\) и имеет длину \(\displaystyle 12\small.\)

Диаметр \(\displaystyle CD\) проходит через \(\displaystyle M\small.\)

Найдем длину отрезков, на которые \(\displaystyle M\) делит \(\displaystyle CD{\small:}\)

  • \(\displaystyle CM=R-OM=7-5=2\small,\)
  • \(\displaystyle DM=R+OM=7+5=12\small.\)

    Воспользуемся правилом:

    Правило

    Теорема об отрезках пересекающихся хорд

    Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

    \(\displaystyle \color{blue}{AE}\cdot \color{blue}{BE}=\color{green}{CE}\cdot \color{green}{ DE}\)

    Тогда

    \(\displaystyle AM\cdot BM=CM\cdot DM=2\cdot12=24\small.\)

    То есть мы знаем сумму и произведение длин \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BM{\small:}\)

    \(\displaystyle AM\cdot BM=24\) и \(\displaystyle AM+BM=AB=12\small.\)

    Тогда по теореме Виета \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BM\) – корни уравнения

    \(\displaystyle x^2-12x+24=0\small.\)

    Решения данного квадратного уравнения:

    \(\displaystyle x_1=6+2\sqrt{3}\) и  \(\displaystyle x_2=6-2\sqrt{3}\small.\)

    То есть точка \(\displaystyle M\) делит \(\displaystyle AB\) на отрезки длины \(\displaystyle 6+2\sqrt{3}\) и  \(\displaystyle 6-2\sqrt{3}\small.\)


    Ответ: \(\displaystyle 6+2\sqrt{3}\) и  \(\displaystyle 6-2\sqrt{3}\small.\)