На рисунке изображен график функции \(\displaystyle y=f(x) {\small ,}\) определенной для всех действительных
значений \(\displaystyle x{\small .}\)
Выберите, на каком из рисунков изображен график функции \(\displaystyle y=3f(x) {\small .}\)
| Рисунок \(\displaystyle \rm I\) | Рисунок \(\displaystyle \rm II\) | |
 |  | |
| Рисунок \(\displaystyle \rm III\) | Рисунок \(\displaystyle \rm IV\) | |
 |  |
По известному графику функции \(\displaystyle y=f(x){\small }\) требуется определить вид графика \(\displaystyle y=\color{red}{3}f(x) {\small .}\)
График функции \(\displaystyle y=kf(x)\) можно получить из графика функции \(\displaystyle y=f(x)\)
- при \(\displaystyle k>1\) – растяжением от оси \(\displaystyle Ox\) исходного графика в \(\displaystyle k\) раз;
- при \(\displaystyle 0<k<1\) – сжатием к оси \(\displaystyle Ox\) исходного графика в \(\displaystyle \frac{1}{k}\) раз.
У нас \(\displaystyle \color{red}{k}=\color{red}{3}>1{\small .}\)
Значит, график функции \(\displaystyle y=\color{red}{3}f(x) \) может быть получен из исходного растяжением от оси \(\displaystyle Ox\) исходного графика в \(\displaystyle \color{red}{3}\) раза.
При растяжении графика функции \(\displaystyle y=f(x)\) в \(\displaystyle \textbf{\textit{k}}\) раз от оси \(\displaystyle \textbf{\textit{Ox}}\) (вдоль оси \(\displaystyle Oy\)) при \(\displaystyle k>1\) расстояние каждой точки исходного графика до оси \(\displaystyle Ox\) увеличивают в \(\displaystyle k\) раз (умножают ординату точки на \(\displaystyle k\)).
То есть для построения графика \(\displaystyle y=\color{red}{3}f(x) \) расстояние каждой точки исходного графика до оси \(\displaystyle Ox\) надо увеличить в \(\displaystyle \color{red}{3}\) раза (умножить ординату точки на \(\displaystyle \color{red}{3}\)).
Возьмём несколько точек исходного графика \(\displaystyle \color{blue}{y=f(x)}\)
и посмотрим, что происходит c их координатами при растяжении графика в \(\displaystyle \color{red}{3}\) раза:
- при умножении на \(\displaystyle \color{red}{3}\) ординаты точки \(\displaystyle A(1;\color{blue}{1})\) получим точку \(\displaystyle A'(1;\color{red}{3} \cdot \color{blue}{1})=(1;3){\small ;}\)
- координаты точки \(\displaystyle B(2;\color{blue}{0})\) не изменятся, так как ее ордината была равна нулю: \(\displaystyle \color{red}{3} \cdot \color{blue}{0}=0{\small ;}\)
- \(\displaystyle C(3;\color{blue}{1})\) → \(\displaystyle С'(3;\color{red}{3} \cdot \color{blue}{1})=(3;3){\small ;}\)
- \(\displaystyle D(4;\color{blue}{2})\) → \(\displaystyle D'(4;\color{red}{3} \cdot \color{blue}{2})=(4;6){\small .}\)
Соединяя полученные точки, построим график функции \(\displaystyle \color{red}{y=3f(x)} {\small :}\)
Видим, что полученный при таком растяжении график изображён на рисунке \(\displaystyle \rm II{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \rm II{\small .}\)