Skip to main content

Теория: 03 Растяжение и сжатие графиков (короткая версия)

Задание

На рисунке изображен график функции \(\displaystyle y=f(x) {\small ,}\) определенной для всех действительных
значений \(\displaystyle x{\small .}\)

Выберите, на каком из рисунков изображен график функции \(\displaystyle y=-3f(x) {\small .}\)

Рисунок \(\displaystyle \rm I\) Рисунок \(\displaystyle \rm II\)
 
   
Рисунок \(\displaystyle \rm III\) Рисунок \(\displaystyle \rm IV\)
 

 

Решение

По известному графику функции \(\displaystyle y=f(x){\small }\) требуется определить вид графика \(\displaystyle y=\color{#0099CC}{-3}f(x) {\small .}\)

Информация

График функции \(\displaystyle y=kf(x)\) можно получить из графика функции \(\displaystyle y=f(x)\)

  • при \(\displaystyle k>1\) –  растяжением от оси \(\displaystyle Ox\) исходного графика в \(\displaystyle k\) раз;
  • при \(\displaystyle 0<k<1\) – сжатием к оси \(\displaystyle Ox\) исходного графика в \(\displaystyle \frac{1}{k}\) раз.

Но у нас коэффициент равен \(\displaystyle \color{#0099CC}{-3}<0{\small .}\)

Решим задачу в два шага:

  1. Построим график \(\displaystyle y= \color{red}{3} f(x) {\small. }\)
  2. Построим график \(\displaystyle y=\color{#0099CC}{-3f(x)} {\small. }\)

 

Шаг 1. Построим график \(\displaystyle y= \color{red}{3} f(x) {\small. }\)

График функции \(\displaystyle y=\color{red}{3}f(x) \) может быть получен из исходного растяжением от оси \(\displaystyle Ox\) исходного графика в \(\displaystyle \color{red}{3}\) раза.

Правило

При растяжении графика функции \(\displaystyle y=f(x)\) в \(\displaystyle \textbf{\textit{k}}\) раз от оси \(\displaystyle \textbf{\textit{Ox}}\) (вдоль оси \(\displaystyle Oy\)) при \(\displaystyle k>1\) расстояние каждой точки исходного графика до оси \(\displaystyle Ox\) увеличивают в \(\displaystyle k\) раз (умножают ординату точки на \(\displaystyle k\)).

То есть для построения графика \(\displaystyle y=\color{red}{3}f(x) \) расстояние каждой точки исходного графика до оси \(\displaystyle Ox\) надо увеличить в \(\displaystyle \color{red}{3}\) раза (умножить ординату точки на \(\displaystyle \color{red}{3}\)).

Возьмём несколько точек исходного графика \(\displaystyle \color{blue}{y=f(x)}\)

и посмотрим, что происходит c их координатами при растяжении графика в \(\displaystyle \color{red}{3}\) раза:

  • при умножении на \(\displaystyle \color{red}{3}\) ординаты точки \(\displaystyle A(1;\color{blue}{1})\) получим точку \(\displaystyle A'(1;\color{red}{3} \cdot \color{blue}{1})=(1;3){\small ;}\)
  • координаты точки \(\displaystyle B(2;\color{blue}{0})\) не изменятся, так как ее ордината была равна нулю: \(\displaystyle \color{red}{3} \cdot \color{blue}{0}=0{\small ;}\)
  • \(\displaystyle C(3;\color{blue}{1})\) → \(\displaystyle С'(3;\color{red}{3} \cdot \color{blue}{1})=(3;3){\small ;}\)
  • \(\displaystyle D(4;\color{blue}{2})\) → \(\displaystyle D'(4;\color{red}{3} \cdot \color{blue}{2})=(4;6){\small .}\)

Соединяя полученные точки, построим график функции  \(\displaystyle \color{red}{y=3f(x)} {\small :}\)

 

 

Шаг 2. Построим график \(\displaystyle y=\color{#0099CC}{-3f(x)} {\small. }\)

График функции \(\displaystyle \color {#0099CC}{y=-f(x)}\) можно получить из графика функции \(\displaystyle \color {blue}{y=f(x)}\) с помощью симметрии относительно оси \(\displaystyle Ox {\small .}\) 

Значит, отобразив график функции \(\displaystyle \color{red}{y=3f(x)}\) симметрично относительно оси \(\displaystyle Ox {\small ,}\) получим график \(\displaystyle \color{#0099CC}{y=-3f(x)}{\small :}\)

 

 

Видим, что полученный график изображён на рисунке \(\displaystyle \rm III{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle \rm III{\small .}\)