Является ли решением совокупности неравенств
\(\displaystyle \left[\begin{aligned}x^2-5x&<0{\small , }\\x^2-2x&>3{\small }\end{aligned}\right.\)
число \(\displaystyle -2{\small?}\)
Решением совокупности неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно хотя бы одно из неравенств совокупности.
Проверим каждое неравенство совокупности, будет ли оно верным при \(\displaystyle x=-2\small.\)
\(\displaystyle 1)\) Подставляя в первое неравенство совокупности значение переменной \(\displaystyle x=\color{blue}{-2}\small,\) получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{(-2)}^2-5\cdot \color{blue}{(-2)}<0{\small , }\)
\(\displaystyle 4+10<0{\small , }\)
\(\displaystyle 14<0{\small . }\)
Получилось неверное числовое неравенство.
Первое неравенство совокупности при \(\displaystyle x=-2\small\) неверное.
\(\displaystyle 2)\) Подставляя во второе неравенство совокупности значение переменной \(\displaystyle x=\color{blue}{-2}\small,\) получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{(-2)}^2-2\cdot \color{blue}{(-2)}>3{\small , }\)
\(\displaystyle 4+4>3{\small , }\)
\(\displaystyle 8>3{\small . }\)
Получилось верное числовое неравенство.
Второе неравенство совокупности при \(\displaystyle x=-2\small\) верное.
Поскольку второе неравенство совокупности при \(\displaystyle x=-2\small\) верное, то \(\displaystyle x=-2\small\) является решением совокупности.
Ответ: да, является.