Является ли решением совокупности неравенств
\(\displaystyle \left[\begin{aligned}x^2-5x&<0{\small , }\\x^2-2x&>3{\small }\end{aligned}\right.\)
число \(\displaystyle 0{\small?}\)
Решением совокупности неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно хотя бы одно из неравенств совокупности.
Проверим, будет ли верным каждое неравенство совокупности при \(\displaystyle x=0\small.\)
\(\displaystyle 1)\) Подставляя в первое неравенство совокупности значение переменной \(\displaystyle x=\color{blue}0\small,\) получаем:
\(\displaystyle \color{blue}0^2-5\cdot \color{blue}0<0{\small , }\)
\(\displaystyle 0-0<0{\small , }\)
\(\displaystyle 0<0{\small . }\)
Получилось неверное числовое неравенство.
Первое неравенство совокупности при \(\displaystyle x=0\small\) неверное.
\(\displaystyle 2)\) Подставляя во второе неравенство совокупности значение переменной \(\displaystyle x=\color{blue}0\small,\) получаем:
\(\displaystyle \color{blue}0^2-2\cdot \color{blue}0>3{\small , }\)
\(\displaystyle 0-0>3{\small , }\)
\(\displaystyle 0>3{\small . }\)
Получилось неверное числовое неравенство.
Второе неравенство совокупности при \(\displaystyle x=0\small\) неверное.
Поскольку оба неравенства совокупности при \(\displaystyle x=0\small\) неверные, то \(\displaystyle x=0\small\) не является решением совокупности.
Ответ: не является.