Из точки на прямой выпущены семь лучей.
При этом образовались отмеченные на рисунке равные углы.
Сколько пар смежных углов насчитывается на рисунке?
Рассмотрим прямую и не лежащий на ней луч с началом на этой прямой.
Такой луч является общей стороной одной пары смежных углов, другие стороны которых образуют прямую.
На рисунке девять лучей.
Значит, если два из них образуют прямую, то оставшиеся семь лучей определяют семь пар смежных углов.
Одна прямая на рисунке есть по условию. По одну сторону от неё проходят два луча, по другую \(\displaystyle -\) пять.
Если два из этих семи лучей образуют прямую, то они должны проходить по разные стороны исходной прямой.
Значит, количество прямых на рисунке не может быть больше трех. Покажем, что их ровно три.
Одна прямая уже есть по условию – это прямая \(\displaystyle l{\small .} \)
Выборочно введём показанные на рисунке обозначения лучей.
Найдём величины \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta\) углов, которые образовались при проведении лучей.
Поскольку развёрнутый угол имеет величину \(\displaystyle 180\degree \) и поочерёдно разделён на шесть и три равных угла, получаем:
\(\displaystyle \alpha=\frac{180\degree }{6}=30\degree {\small ,\;\;\;\;\;\;\;\;}\beta=\frac{180\degree }{3}=60\degree\)
Тогда величина угла \(\displaystyle ns \) равна
\(\displaystyle 2\alpha +2 \beta= 2\cdot 30\degree+2\cdot 60\degree=180\degree{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle ns~-\) развёрнутый угол и его стороны составляют вторую прямую на рисунке.
Третья прямая состоит из точек сторон угла \(\displaystyle mt{ \small ,}\) так как он также развёрнутый:
\(\displaystyle 4\alpha +\beta= 4\cdot 30\degree+ 60\degree=180\degree{\small .}\)
На рисунке насчитывается три прямые.
Каждая соответствует семи парам смежных углов.
Значит, на рисунке \(\displaystyle 3\cdot 7=21\) пара смежных углов.
Ответ: \(\displaystyle 21{\small .}\)