Представим функцию \(\displaystyle y=3x+1-\frac{2}{x} =\color{orange}{3x+1}+\left(\color{green}{-\frac{2}{x}} \right)\) как сумму двух функций:
\(\displaystyle y=\color{orange}{f(x)}+\color{green}{g(x)} {\small ,}\)
где \(\displaystyle \color{orange}{f(x)}=\color{orange}{3x+1}{\small ,}\) \(\displaystyle \color{green}{g(x)}=\color{green}{-\frac{2}{x}}{\small .}\)
Определим характер монотонности каждой из функций.
Линейная функция \(\displaystyle f(x)=\color{orange}{3x+1}\) возрастает на промежутке \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
ПравилоЗнак коэффициента \(\displaystyle \small k\) и монотонность линейной функции \(\displaystyle \small y=kx+b\)
- если \(\displaystyle k>0 \small ,\) то функция \(\displaystyle y=kx+b\) возрастает;
- если \(\displaystyle k=0 \small ,\) то функция \(\displaystyle y=kx+b\) постоянна;
- если \(\displaystyle k<0 \small ,\) то функция \(\displaystyle y=kx+b\) убывает.
У линейной функции \(\displaystyle f(x)=\color{blue}{3}x+1\) коэффициент \(\displaystyle k=\color{blue}{3}>0 {\small .}\)
Значит, функция возрастает при любых значениях переменной, в том числе, на промежутке \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
Функция \(\displaystyle g(x)=\color{green}{-\frac{2}{x}}\) возрастает на промежутке \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
ПравилоЗнак коэффициента \(\displaystyle \small k\) и монотонность функции \(\displaystyle {\small y=\frac{k}{x}}\)
Обратная пропорциональность, то есть функция \(\displaystyle y=\frac{k}{x}\ \small ,\) на каждом из промежутков \(\displaystyle (-\infty;0)\) и \(\displaystyle (0;+\infty){\small}\)
- при \(\displaystyle k>0 \small \) убывает;
- при \(\displaystyle k<0 \small \) возрастает.
У функции \(\displaystyle g(x)=-\frac{2}{x}=\frac{\color{blue}{-2}\phantom{1}}{x}\) коэффициент \(\displaystyle k=\color{blue}{-2}<0 {\small .}\)
Значит, функция возрастает на каждом из промежутков \(\displaystyle (-\infty;0)\) и \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
По свойству
СвойствоЕсли функции \(\displaystyle f(x)\) и \(\displaystyle g(x)\) возрастают (убывают) на множестве \(\displaystyle X {\small ,}\) то функция \(\displaystyle y=f(x)+g(x)\) возрастает (убывает) на множестве \(\displaystyle X {\small .}\)
получаем, что функция \(\displaystyle y=\color{orange}{3x+1}+\left(\color{green}{-\frac{2}{x}} \right)=3x+1-\frac{2}{x} \) возрастает на промежутке \(\displaystyle (0;+\infty){\small }\) как сумма двух возрастающих на этом промежутке функций.
Ответ: Функция возрастает.