Определите характер монотонности функции
\(\displaystyle y=\frac{2x^2-3x-2}{x} \)
на промежутке \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
Функция .
Функция \(\displaystyle y=\frac{2x^2-3x-2}{x} \) определена на промежутках \(\displaystyle (-\infty;0)\) и \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
Почленно разделим числитель на знаменатель:
\(\displaystyle y=\frac{2x^2-3x-2}{x} =\frac{2x^2}{x}-\frac{3x}{x}-\frac{2}{x}=2x-3-\frac{2}{x}{\small .}\)
Представим функцию \(\displaystyle y=2x-3-\frac{2}{x} =\color{orange}{2x-3}+\left(\color{green}{-\frac{2}{x}} \right)\) как сумму двух функций:
\(\displaystyle y=\color{orange}{f(x)}+\color{green}{g(x)} {\small ,}\)
где \(\displaystyle \color{orange}{f(x)}=\color{orange}{2x-3}{\small ,}\) \(\displaystyle \color{green}{g(x)}=\color{green}{-\frac{2}{x}}{\small .}\)
Определим характер монотонности каждой из функций.
Функция \(\displaystyle g(x)=\color{green}{-\frac{2}{x}}\) возрастает на промежутке \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
По свойству
Если функции \(\displaystyle f(x)\) и \(\displaystyle g(x)\) возрастают (убывают) на множестве \(\displaystyle X {\small ,}\) то функция \(\displaystyle y=f(x)+g(x)\) возрастает (убывает) на множестве \(\displaystyle X {\small .}\)
получаем, что функция
\(\displaystyle y=\color{orange}{2x-3}+\left(\color{green}{-\frac{2}{x}} \right)=2x-3-\frac{2}{x} =\frac{2x^2-3x-2}{x}\)
возрастает на промежутке \(\displaystyle (0;+\infty){\small }\) как сумма двух возрастающих на этом промежутке функций.
Ответ: Функция возрастает.