Skip to main content

Теория: 03 Теорема Фалеса на клетчатой бумаге (короткая версия)

Задание

На клетчатой бумаге изображён прямоугольный треугольник \(\displaystyle ABC{\small.}\)

На гипотенузе \(\displaystyle AB\) отмечены точки \(\displaystyle L\) и \(\displaystyle K{\small.}\) Сравните отрезки \(\displaystyle AL\) и \(\displaystyle BK{\small.}\)


 

\(\displaystyle AL\)  \(\displaystyle BK{\small.}\)

Решение

Правило

Теорема Фалеса (о разбиении на равные отрезки)

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут от второй прямой равные между собой отрезки.

  • \(\displaystyle \color{blue}a\) и \(\displaystyle \color{green}b\) – прямые;
  •   \(\displaystyle \color{grey}{l_1} \parallel \color{grey}{l_2} \parallel \color{grey}{l_3} \parallel \color{grey}{l_4} \parallel \color{grey}{l_5}{\small;}\)
  •  \(\displaystyle \color{blue}{A_1A_2}=\color{blue}{A_2A_3}=\color{blue}{A_3A_4}=\color{blue}{A_4A_5}{\small,}\)

тогда

\(\displaystyle \color{green}{B_1B_2}=\color{green}{B_2B_3}=\color{green}{B_3B_4}=\color{green}{B_4B_5}{\small.}\)

Заметим, что точки \(\displaystyle L\) и \(\displaystyle K\) лежат на горизонтальных линиях сетки.

Выполним дополнительное построение.
 

По горизонтальным линиям сетки проведём параллельные прямые.

Эти прямые делят катет \(\displaystyle BC\) на четыре равных отрезка, каждый из которых равен стороне клетки.

Согласно теореме Фалеса построенные прямые на гипотенузе \(\displaystyle AB\) также отсекают четыре равные между собой отрезка. 

 

  • \(\displaystyle AL\) – один из четырёх равных отрезков, которые составляют гипотенузу \(\displaystyle AB{\small,}\) значит,

\(\displaystyle AL=\frac{1}{4}\cdot AB{\small;}\)

  • \(\displaystyle BK\) – один из четырёх равных отрезков, которые составляют гипотенузу \(\displaystyle AB{\small,}\) значит,

\(\displaystyle BK=\frac{1}{4}\cdot AB{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle AL=BK{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle AL=BK{\small.}\)