Теория: 03 Теорема Фалеса на клетчатой бумаге (короткая версия)

Так как точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) лежат на отрезке \(\displaystyle AB{\small,}\) то

\(\displaystyle CD=AB-(AC+DB){\small.}\)

\(\displaystyle \color{red}{1)}\) Определим, какую часть отрезка \(\displaystyle AB\) составляет отрезок \(\displaystyle AC{\small.}\)

Заметим, что точка \(\displaystyle C\) лежит на пересечении отрезка \(\displaystyle AB\) и горизонтальной линии сетки.

Выполним дополнительное построение.

Отметим все точки пересечения отрезка \(\displaystyle AB\) и горизонтальных линий сетки. Через отмеченные точки проведём горизонтальные параллельные прямые. Через точку \(\displaystyle A\) по вертикальной линии сетки проведём прямую \(\displaystyle AK{\small.}\) Горизонтальные параллельные прямые отсекают на прямой \(\displaystyle AK\) шесть равных отрезков. Каждый из этих отрезков равен стороне клетки.

Правило

Теорема Фалеса (о разбиении на равные отрезки)

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут от второй прямой равные между собой отрезки.

\(\displaystyle \color{blue}a\) и \(\displaystyle \color{green}b\) – прямые;   \(\displaystyle \color{grey}{l_1} \parallel \color{grey}{l_2} \parallel \color{grey}{l_3} \parallel \color{grey}{l_4} \parallel \color{grey}{l_5}{\small;}\)  \(\displaystyle \color{blue}{A_1A_2}=\color{blue}{A_2A_3}=\color{blue}{A_3A_4}=\color{blue}{A_4A_5}{\small,}\) тогда \(\displaystyle \color{green}{B_1B_2}=\color{green}{B_2B_3}=\color{green}{B_3B_4}=\color{green}{B_4B_5}{\small.}\)

\(\displaystyle AC\) составляет две из шести равных частей, на которые разделили отрезок \(\displaystyle AB{\small,}\) то есть \(\displaystyle AC=\frac{2}{6}AB=\frac{1}{3}AB{\small.}\)

\(\displaystyle \color{red}{2)}\) Определим, какую часть отрезка \(\displaystyle AB\) составляет отрезок \(\displaystyle DB{\small.}\)

Заметим, что точка \(\displaystyle D\) лежит на пересечении отрезка \(\displaystyle AB\) и вертикальной линии сетки.

Выполним дополнительное построение.

Отметим все точки пересечения отрезка \(\displaystyle AB\) и вертикальных линий сетки. Через отмеченные точки проведём вертикальные параллельные прямые. Через точку \(\displaystyle A\) по горизонтальной линии сетки проведём прямую \(\displaystyle AL{\small.}\) Вертикальные параллельные прямые отсекают на прямой \(\displaystyle AL\) четыре равных отрезка. Каждый из этих отрезков равен стороне клетки.

Согласно теореме Фалеса построенные горизонтальные прямые делят отрезок \(\displaystyle AB\) на четыре равных между собой отрезка.

\(\displaystyle DB\) составляет одну из четырёх равных частей, на которые разделили отрезок \(\displaystyle AB{\small,}\) то есть \(\displaystyle DB=\frac{1}{4}AB{\small.}\)

\(\displaystyle \color{red}{3)}\) Найдём отношение отрезков \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle AB{\small.}\)

Выразим \(\displaystyle CD\) через \(\displaystyle AB{\small:}\)

\(\displaystyle CD=AB-(AC+DB){\small;}\)

\(\displaystyle CD=AB-\left(\frac{1}{3}AB+\frac{1}{4}AB\right){\small;}\)

\(\displaystyle CD=AB-\frac{7}{12}AB{\small;}\)

\(\displaystyle CD=\frac{5}{12}AB{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle CD:AB=5:12{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle CD:AB=5:12{\small.}\)