Верно ли, что для любого числа \(\displaystyle a{\small }\) выполняется неравенство
\(\displaystyle (2a+3)(2a+7) > 5a(a+4) {\small ? }\)
Воспользуемся определением:
Для любых двух чисел \(\displaystyle a,\, b\) верно
\(\displaystyle a>b{\small ,}\) если \(\displaystyle a-b>0\)
или
\(\displaystyle a<b{\small ,}\) если \(\displaystyle a-b<0{\small .}\)
Значит, если разность выражений \(\displaystyle (2a+3)(2a+7)\) и \(\displaystyle 5a(a+4){\small } \)положительна для любого числа \(\displaystyle a{\small ,}\) то и
\(\displaystyle (2a+3)(2a+7) > 5a(a+4){\small } \) для любого числа \(\displaystyle a{\small .}\)
Составим разность выражений и выясним, всегда ли она больше нуля. Получим:
\(\displaystyle (2a+3)(2a+7)- 5a(a+4)=\)
\(\displaystyle =\blue{4a^{\,2}}+\green{14a} +\green{6a}+\orange{21}-\blue{5a^2} -\green{20a}=\)
\(\displaystyle =21-a^2{\small . }\)
Но
- при \(\displaystyle a=0{\small }\) разность \(\displaystyle 21-a^2\) равна \(\displaystyle 21-0^2=21>0{\small ,}\)
- при \(\displaystyle a=10{\small }\) разность \(\displaystyle 21-a^2\) равна \(\displaystyle 21-10^2=-79<0{\small .}\)
То есть разность выражений \(\displaystyle (2a+3)(2a+7)\) и \(\displaystyle 5a(a+4)\) не всегда положительна.
Значит, неравенство \(\displaystyle (2a+3)(2a+7)>5a(a+4){\small }\) выполняется не для любого числа \(\displaystyle a{\small .}\)
Ответ: нет, неверно.