Выберите верное утверждение о неравенствах \(\displaystyle x>2\) и \(\displaystyle x>7{\small .}\)
Неравенство-следствие
Если каждое решение первого неравенства является решением второго неравенства, то второе неравенство называется следствием первого.
Для каждого из неравенств проверим, будет ли оно следствием другого.
Отметим, что \(\displaystyle {7}>{2}{\small }{\small .}\)
\(\displaystyle 1)\) Проверим, будет ли неравенство \(\displaystyle {x>2}{\small }\) следствием неравенства \(\displaystyle {x>7}{\small .}\)
Пусть число \(\displaystyle a\) является решением неравенства \(\displaystyle {x>7}{\small .}\) Тогда выполняется неравенство \(\displaystyle a>7\small.\)
Так как \(\displaystyle {a}>{7}{\small }\) и \(\displaystyle {7}>{2}{\small ,}\) в силу транзитивности получаем
\(\displaystyle {a}>{7}>{2}{\small ,}\)
\(\displaystyle {a}>{2}{\small .}\)
Следовательно, каждое решение неравенства \(\displaystyle {x>7}{\small }\) является решением неравенства \(\displaystyle {x>2}{\small .}\)
Значит, неравенство \(\displaystyle {x>2}{\small }\) является следствием неравенства \(\displaystyle {x>7}{\small.}\)
\(\displaystyle 2)\) Проверим, будет ли неравенство \(\displaystyle {x>7}{\small }\) следствием неравенства \(\displaystyle {x>2}{\small .}\)
Покажем, что не каждое решение неравенства \(\displaystyle {x>2}{\small }\) является решением неравенства \(\displaystyle {x>7}{\small .}\)
Например, \(\displaystyle x=3\) является решением неравенства \(\displaystyle {x>2}{\small, }\) но не является решением неравенства \(\displaystyle {x>7}{\small .}\)
Значит, неравенство \(\displaystyle {x>7}\) не является следствием неравенства \(\displaystyle {x>2}{\small .}\)
Таким образом, неравенство \(\displaystyle {x>2}{\small }\) является следствием неравенства \(\displaystyle {x>7}{\small.}\)
Ответ: неравенство \(\displaystyle x>2\) является следствием неравенства \(\displaystyle x>7{\small .}\)