Выберите верное утверждение о неравенствах \(\displaystyle x<-2\) и \(\displaystyle x<-4{\small .}\)
Неравенство-следствие
Если каждое решение первого неравенства является решением второго неравенства, то второе неравенство называется следствием первого.
Для каждого из неравенств проверим, будет ли оно следствием другого.
Отметим, что \(\displaystyle {-4}<{-2}{\small }{\small .}\)
\(\displaystyle 1)\) Проверим, будет ли неравенство \(\displaystyle {x<-2}{\small }\) следствием неравенства \(\displaystyle {x<-4}{\small .}\)
Пусть число \(\displaystyle a\) является решением неравенства \(\displaystyle {x<-4}{\small .}\) Тогда выполняется неравенство \(\displaystyle a<-4\small.\)
Так как \(\displaystyle {a}<{-4}{\small }\) и \(\displaystyle {-4}<{-2}{\small ,}\) в силу транзитивности получаем
\(\displaystyle {a}<{-4}<{-2}{\small ,}\)
\(\displaystyle {a}<{-2}{\small .}\)
Следовательно, каждое решение неравенства \(\displaystyle {x<-4}{\small }\) является решением неравенства \(\displaystyle {x<-2}{\small .}\)
Значит, неравенство \(\displaystyle {x<-2}{\small }\) является следствием неравенства \(\displaystyle {x<-4}{\small.}\)
\(\displaystyle 2)\) Проверим, будет ли неравенство \(\displaystyle {x<-4}{\small }\) следствием неравенства \(\displaystyle {x<-2}{\small .}\)
Покажем, что не каждое решение неравенства \(\displaystyle {x<-2}{\small }\) является решением неравенства \(\displaystyle {x<-4}{\small .}\)
Например, \(\displaystyle x=-3\) является решением неравенства \(\displaystyle {x<-2}{\small, }\) но не является решением неравенства \(\displaystyle {x<-4}{\small .}\)
Значит, неравенство \(\displaystyle {x<-4}\) не является следствием неравенства \(\displaystyle {x<-2}{\small .}\)
Таким образом, неравенство \(\displaystyle {x<-2}{\small }\) является следствием неравенства \(\displaystyle {x<-4}{\small.}\)
Ответ: неравенство \(\displaystyle x<-2\) является следствием неравенства \(\displaystyle x<-4{\small .}\)