Skip to main content

Теория: 03 Признаки равенства треугольников

Задание

На сторонах угла с вершиной \(\displaystyle B\) отложили равные отрезки \(\displaystyle BA\) и \(\displaystyle BC{\small.}\) Внутри угла \(\displaystyle ABC\) взяли точки \(\displaystyle E\) и \(\displaystyle K\) так, что угол \(\displaystyle ABK\) равен углу \(\displaystyle CBE{\small,}\) а угол \(\displaystyle BAE\) равен углу \(\displaystyle BCK{\small.}\) Найдите длину отрезка \(\displaystyle BE{\small,}\) если \(\displaystyle BK=11{\small.}\)

\(\displaystyle BE=\)

Решение
  • \(\displaystyle BA=BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle ABK= \angle CBE{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle BAE= \angle BCK{\small;}\)
  • \(\displaystyle BK=11{\small.}\)

Требуется найти \(\displaystyle BE{\small.}\)

Заметим, что

\(\displaystyle \angle ABE=\angle CBK{\small.}\)

Правило

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если

\(\displaystyle \begin{cases}\color{green}{AC}=\color{green}{A_1C_1}{\small,}\\\angle\color{red}{BAC}=\angle\color{red}{{B_1A_1C_1}}{\small,}\\\angle\color{blue}{BCA}=\angle\color{blue}{{B_1C_1A_1}}{\small,}\end{cases}\)

то

\(\displaystyle \Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1{\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle ABE\) и \(\displaystyle CBK{\small.}\)

  • \(\displaystyle BA=BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle \color{green}{\angle ABE}= \color{green}{\angle CBK}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \color{blue}{\angle BAE}= \color{blue}{\angle BCK}{\small.}\)

Согласно признаку равенства треугольников

\(\displaystyle \triangle ABE=\triangle CBK\)

по стороне и двум прилежащим углам.

В равных треугольниках напротив соответственно равных углов лежат равные стороны. Значит,

\(\displaystyle BE=BK=11{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle BE=11{\small.}\)