 | \(\displaystyle ABCD\) – четырёхугольник: - \(\displaystyle AB=AD{\small;}\)
- \(\displaystyle BC=CD{\small;}\)
- точка \(\displaystyle K\) лежит на диагонали \(\displaystyle AC{\small;}\)
- \(\displaystyle DK=4{\small.}\)
Требуется найти \(\displaystyle BK{\small.}\) |
Вспомним признаки равенства треугольников.
Правило Первый признак равенства треугольников
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если \(\displaystyle \begin{cases}\color{blue}{AB}=\color{blue}{A_1B_1}{\small,}\\\color{green}{AC}=\color{green}{A_1C_1}{\small,}\\\angle\color{red}{BAC}=\angle\color{red}{{B_1A_1C_1}}{\small,}\end{cases}\) то \(\displaystyle \Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1{\small.}\) |  |
Правило Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если \(\displaystyle \begin{cases}\color{green}{AC}=\color{green}{A_1C_1}{\small,}\\\angle\color{red}{BAC}=\angle\color{red}{{B_1A_1C_1}}{\small,}\\\angle\color{blue}{BCA}=\angle\color{blue}{{B_1C_1A_1}}{\small,}\end{cases}\) то \(\displaystyle \Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1{\small.}\) |  |
Правило Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если \(\displaystyle \begin{cases}\color{blue}{AB}=\color{blue}{A_1B_1}{\small,}\\\color{green}{AC}=\color{green}{{A_1C_1}}{\small,}\\\color{red}{BC}=\color{red}{{B_1C_1}}{\small,}\end{cases}\) то \(\displaystyle \Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1{\small.}\) |  |
Рассмотрим треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ADC{\small.}\)
 | - \(\displaystyle AB=AD{\small;}\)
- \(\displaystyle BC=CD{\small;}\)
- \(\displaystyle AC\) – общая сторона.
Согласно третьему признаку равенства треугольников \(\displaystyle \triangle ABC=\triangle ADC\) по трём сторонам. |
В равных треугольниках соответственные углы равны. Значит,
\(\displaystyle \angle ACB=\angle ACD{\small.}\)
Рассмотрим треугольники \(\displaystyle BCK\) и \(\displaystyle DCK{\small.}\)
 | - \(\displaystyle BC=CD{\small;}\)
- \(\displaystyle KC\) – общая сторона;
- \(\displaystyle \angle KCB=\angle KCD{\small.}\)
Согласно первому признаку равенства треугольников \(\displaystyle \triangle BCK=\triangle DCK\) по двум сторонам и углу между ними. |
В равных треугольниках напротив соответственно равных углов лежат равные стороны. Значит,
\(\displaystyle BK=DK=4{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle BK=4{\small.}\)
