Skip to main content

Теория: 06 Окружность

Задание

Угол между диаметром \(\displaystyle AB\) и хордой \(\displaystyle AC\) равен \(\displaystyle 30^{\circ}{\small.}\) Через точку \(\displaystyle C\) проведена касательная, пересекающая прямую \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle D{\small.}\) Найдите длину отрезка \(\displaystyle CD{\small,}\) если \(\displaystyle AC=11{\small.}\)

\(\displaystyle CD=\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

  • Пусть \(\displaystyle O\) – центр окружности;
  • \(\displaystyle AB\) – диаметр;
  • \(\displaystyle AC=11\) – хорда;
  • \(\displaystyle \angle BAC=30^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle CD\) – касательная к окружности;
  • \(\displaystyle D\) – точка пересечения прямой \(\displaystyle AB\) и касательной \(\displaystyle CD{\small.}\)

Требуется найти длину отрезка \(\displaystyle CD{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Проведём радиус \(\displaystyle OC{\small.}\)

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Значит,

\(\displaystyle \angle OCD=90^{\circ}{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle AOC{\small.}\)

\(\displaystyle OA=OC\) – радиусы окружности.

Значит,

\(\displaystyle \triangle AOC\) – равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. То есть

\(\displaystyle \angle OCA=\angle OAC=30^{\circ}{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ACD{\small.}\)

\(\displaystyle \angle ACD=\angle OCA+\angle OCD{\small;}\) 

\(\displaystyle \angle ACD=30^{\circ}+90^{\circ}=120^{\circ}{\small.}\) 

Сумма внутренних углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small,}\) значит,

\(\displaystyle \angle CDA=180^{\circ}-(\angle CAD+\angle ACD){\small;}\)

\(\displaystyle\begin{aligned}\angle CDA&=180^{\circ}-(30^{\circ}+120^{\circ})=\\&=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}{\small.}\end{aligned}\)


В результате получаем

\(\displaystyle \angle CAD= \angle CDA=30^{\circ}{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle \triangle ACD\) – равнобедренный. Значит,

\(\displaystyle CD=CA=11{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle CD=11{\small.}\)