Skip to main content

Теория: 06 Окружность

Задание

Дана окружность с центром в точке \(\displaystyle O{\small.}\) Прямая пересекает окружность в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small.}\) Найдите расстояние от точки \(\displaystyle O\) до прямой, если \(\displaystyle AB=10\, \footnotesize см{\small,}\) \(\displaystyle \angle AOB=90^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle \footnotesize см{\small.}\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

  • \(\displaystyle O\) – центр окружности;
  • прямая пересекает окружность в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small;}\)
  • \(\displaystyle AB=10\, \footnotesize см{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle AOB=90^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти расстояние от точки \(\displaystyle O\) до прямой \(\displaystyle AB{\small.}\)

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, проведённого от точки к данной прямой.

Из точки \(\displaystyle O\) проведём перпендикуляр \(\displaystyle OH\) к прямой \(\displaystyle AB{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle AOB{\small.}\)

  • \(\displaystyle OA=OB\) – радиусы окружности.

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle AOB\) – равнобедренный.

  • В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой.

Значит,

\(\displaystyle OH\) – высота и медиана, проведённая к гипотенузе.

  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть

\(\displaystyle OH=\frac{1}{2} \cdot AB=\frac{1}{2} \cdot 10=5\, \footnotesize см{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 5\, \footnotesize см{\small.}\)