Skip to main content

Теория: 06 Окружность

Задание

Прямые \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle MC\) касаются окружности с центром в точке \(\displaystyle O\) в точках \(\displaystyle N\)  и \(\displaystyle C{\small.}\) Найдите \(\displaystyle NC{\small,}\) если \(\displaystyle \angle OMN=30^{\circ}{\small,}\)  \(\displaystyle MN=11 \, \footnotesize см{\small.}\)

\(\displaystyle NC=\)\(\displaystyle \footnotesize см{\small.}\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

  • \(\displaystyle O\) – центр окружности;
  • \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle MC\) – касательные;
  • \(\displaystyle MN=11{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle OMN=30^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти длину отрезка \(\displaystyle NC{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Проведём радиусы \(\displaystyle ON\) и \(\displaystyle OC{\small.}\)

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит,

\(\displaystyle \angle ONM=90^{\circ}{\small;}\)

\(\displaystyle \angle OCM=90^{\circ}{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle OMN\) и \(\displaystyle OMC{\small.}\)

  • \(\displaystyle ON=OC\) – радиусы окружности;
  • \(\displaystyle OM\) – общая гипотенуза.

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle OMN= \triangle OMC\)

по катету и гипотенузе.

Значит,

\(\displaystyle MC=MN=11{\small;}\)

\(\displaystyle \angle OMC=\angle OMN=30^{\circ}{\small.}\)

Рассмотрим равнобедренный треугольник \(\displaystyle MNC{\small.}\)

\(\displaystyle \angle NMC=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}{\small.}\) 

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  • Сумма внутренних углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \angle MNC=\angle MCN=\frac{180^{\circ}-\angle NMC}{2}{\small;}\)


\(\displaystyle \angle MNC=\angle MCN=\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}{\small.}\)

В результате получаем:

\(\displaystyle \angle MNC=\angle MCN=\angle NMC=60^{\circ}{\small.}\)

То есть \(\displaystyle \triangle MNC\) – равносторонний. Значит,

\(\displaystyle NC=MC=MN=11{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle NC=11{\small.}\)