Skip to main content

Теория: 05 Свойства прямоугольного треугольника

Задание

Один из углов прямоугольного треугольника равен \(\displaystyle 60^{\circ}{\small,}\) а разность гипотенузы и меньшего катета равна \(\displaystyle 8\, \footnotesize см{\small.}\) Найдите гипотенузу и меньший катет треугольника.

гипотенуза равна \(\displaystyle \footnotesize см{\small,}\)

меньший катет равен \(\displaystyle \footnotesize см{\small.}\)

Решение

Пусть \(\displaystyle ABC\) – прямоугольный треугольник:

  • \(\displaystyle \angle C=90^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle A=60^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle AB\) – гипотенуза;
  • \(\displaystyle AC\) – меньший катет;
  • \(\displaystyle AB-AC=8\,\footnotesize см{\small.}\)

Требуется найти гипотенузу и меньший катет, то есть \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC{\small.}\)

 

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90^{\circ}{\small,}\) то

\(\displaystyle \angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}{\small.}\)
 

Правило

В прямоугольном треугольнике напротив угла в \(\displaystyle 30^{\circ}\) лежит катет равный половине гипотенузы.

Пусть \(\displaystyle AC=\color{red}{x}{\small,}\) тогда \(\displaystyle AB=\color{red}{2x}{\small.}\)

По условию

\(\displaystyle AB-AC=8\,\footnotesize см{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle \color{red}{2x}-\color{red}{x}=8\,\footnotesize см{\small;}\)

\(\displaystyle \color{red}{x}=8\,\footnotesize см{\small.}\)

Значит, 

\(\displaystyle AC=8\,\footnotesize см{\small,}\)

\(\displaystyle AB=2\cdot 8=16\,\footnotesize см{\small.}\)

Ответ:гипотенуза равна \(\displaystyle 16\,\footnotesize см{\small,}\)
 меньший катет равен \(\displaystyle 8\,\footnotesize см{\small.}\)