Составьте верное утверждение о функции \(\displaystyle y=\frac{2}{x-1}+2 {\small .}\)
Функция \(\displaystyle y=\frac{2}{x-1}+2 \) на промежутках \(\displaystyle (-\infty;1)\) и \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)
Функция \(\displaystyle y=\frac{2}{x-\color{green}{1}}+\color{blue}{2} \) определена на промежутках \(\displaystyle (-\infty;1)\) и \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)
Заметим, что график функции \(\displaystyle y=\frac{2}{x-\color{green}{1}}+\color{blue}{2} \) может быть получен из графика функции \(\displaystyle y=\frac{2}{x}\) последовательными сдвигами
- на \(\displaystyle \color{green}{1}\) единицу вправо вдоль оси \(\displaystyle Ox {\small ,}\)
- на \(\displaystyle \color{blue}{2}\) единицы вверх вдоль оси \(\displaystyle Oy {\small .}\)
Очевидно, что
- такое преобразование графика не меняет характер монотонности функции;
- при сдвиге графика вправо на \(\displaystyle \color{green}{1}\) единицу промежутки монотонности также сдвинутся вправо на \(\displaystyle \color{green}{1}\) единицу:
\(\displaystyle (-\infty;0)\) → \(\displaystyle (-\infty;1){\small ,}\)
\(\displaystyle (0;+\infty)\) → \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)
Функция \(\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}\) убывает на каждом из промежутков \(\displaystyle (-\infty;0)\) и \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
Но тогда и функция \(\displaystyle y=\frac{2}{x-1}+2 \) убывает на каждом из промежутков \(\displaystyle (-\infty;1)\) и \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)
Значит, верное утверждение:
Функция \(\displaystyle y=\frac{2}{x-1}+2 \) убывает на промежутках \(\displaystyle (-\infty;1)\) и \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)