Составьте верное утверждение о функции \(\displaystyle y=\frac{2}{x-1} {\small .}\)
Функция \(\displaystyle y=\frac{2}{x-1} \) на промежутках \(\displaystyle (-\infty;1)\) и \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)
Функция \(\displaystyle y=\frac{2}{x-\color{green}{1}}\) определена на промежутках \(\displaystyle (-\infty;1)\) и \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)
Заметим, что график функции \(\displaystyle y=\frac{2}{x-\color{green}{1}} \) может быть получен из графика функции \(\displaystyle y=\frac{2}{x}\) сдвигом на \(\displaystyle \color{green}{1}\) единицу вправо вдоль оси \(\displaystyle Ox {\small .}\)
Очевидно, что
- сдвиг графика влево (вправо) не меняет характер монотонности;
- при сдвиге графика вправо на \(\displaystyle \color{green}{1}\) единицу промежутки монотонности также сдвинутся вправо на \(\displaystyle \color{green}{1}\) единицу:
\(\displaystyle (-\infty;0)\) → \(\displaystyle (-\infty;1){\small ,}\)
\(\displaystyle (0;+\infty)\) → \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)
Функция \(\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}\) убывает на каждом из промежутков \(\displaystyle (-\infty;0)\) и \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
Но тогда и функция \(\displaystyle y=\frac{2}{x-1} \) убывает на каждом из промежутков \(\displaystyle (-\infty;1)\) и \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)
Значит, верное утверждение:
Функция \(\displaystyle y=\frac{2}{x-1}\) убывает на промежутках \(\displaystyle (-\infty;1)\) и \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)