Составьте верное утверждение о функции \(\displaystyle y=-\frac{3}{x-2} {\small .}\)
Функция \(\displaystyle y=-\frac{3}{x-2} \) на промежутках \(\displaystyle (-\infty;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
Функция \(\displaystyle y=-\frac{3}{x-\color{green}{2}} \) определена на промежутках \(\displaystyle (-\infty;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
Заметим, что график функции \(\displaystyle y=-\frac{3}{x-\color{green}{2}} \) может быть получен из графика функции \(\displaystyle y=-\frac{3}{x}\) сдвигом на \(\displaystyle \color{green}{2}\) единицы вправо вдоль оси \(\displaystyle Ox {\small .}\)
Очевидно, что
- сдвиг графика влево (вправо) не меняет характер монотонности;
- при сдвиге графика вправо на \(\displaystyle \color{green}{2}\) единицы промежутки монотонности также сдвинутся вправо на \(\displaystyle \color{green}{2}\) единицы:
\(\displaystyle (-\infty;0)\) → \(\displaystyle (-\infty;2){\small ,}\)
\(\displaystyle (0;+\infty)\) → \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
Функция \(\displaystyle f(x)=-\frac{3}{x}\) возрастает на каждом из промежутков \(\displaystyle (-\infty;0)\) и \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
Но тогда и функция \(\displaystyle y=-\frac{3}{x-2}\) возрастает на каждом из промежутков \(\displaystyle (-\infty;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
Значит, верное утверждение:
Функция \(\displaystyle y=-\frac{3}{x-2} \) возрастает на промежутках \(\displaystyle (-\infty;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)