Skip to main content

Теория: 05 Уравнение перпендикулярной прямой

Задание

Найдите уравнение прямой, которая:

  • перпендикулярна прямой, проходящей через точки \(\displaystyle A(0;\,2)\) и \(\displaystyle B(3;\,1)\small,\)
  • проходит через точку \(\displaystyle C(2;\,5)\small.\)
-3
\(\displaystyle \cdot x+\)
1
\(\displaystyle \cdot y+\)
1
\(\displaystyle =0\)

(В каждом окне ввода укажите число.)

Решение

Чтобы решить задачу:

  • найдем уравнение прямой, проходящей через точки \(\displaystyle A(0;\,2)\) и \(\displaystyle B(3;\,1)\small,\)
  • найдем уравнение прямой, проходящей через \(\displaystyle C(2;\,5)\) и перпендикулярной прямой \(\displaystyle AB\small.\)

1. Прямая, проходящая через точки \(\displaystyle A(0;\,2)\) и \(\displaystyle B(3;\,1)\small,\) задается уравнением

\(\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+2\small.\)

2. Уравнение прямой, перпендикулярной \(\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+2\) и проходящей через точку \(\displaystyle C(2;\,5){\small:}\)

\(\displaystyle y=-\frac{7}{2}x-12\small.\)

Пусть искомая прямая задается уравнением

\(\displaystyle y=kx+b\small.\)

Она должна быть перпендикулярна прямой \(\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+2\) с угловым коэффициентом \(\displaystyle -\frac{1}{3}\small.\) Значит,

\(\displaystyle k=-\frac{1}{-\frac{1}{3}}=3\small.\)


Прямая \(\displaystyle y=3x+b\) проходит через точку \(\displaystyle C(2;\,5)\small.\) Тогда подставим ее координаты в уравнение и найдем \(\displaystyle b{\small:}\)

\(\displaystyle 5=3\cdot2+b\small,\)

\(\displaystyle b=5-6=-1\small.\)

То есть искомое уравнение прямой

\(\displaystyle y=3x-1\small.\)

Ответ: \(\displaystyle -3x+y+1=0\small.\)