Координаты вершин треугольника \(\displaystyle ABC{\small:}\) \(\displaystyle A(-6;\,3),\,B(-1;\,2)\) и \(\displaystyle C(-2;\,6)\small.\) Найдите уравнение прямой, содержащей высоту треугольника \(\displaystyle AH\small.\)
(В каждом окне ввода укажите число.)
Чтобы решить задачу:
- найдем уравнение прямой, проходящей через вершины \(\displaystyle B(-1;\,2)\) и \(\displaystyle C(-2;\,6){\small;}\)
- найдем уравнение прямой, проходящей через \(\displaystyle A(-6;\,3)\) и перпендикулярной прямой \(\displaystyle BC\small.\)
\(\displaystyle y=-4x-2\small.\)
\(\displaystyle -x+4y-18=0\small.\)
Пусть искомая прямая задается уравнением
\(\displaystyle y=kx+b\small.\)
Она должна быть перпендикулярна прямой \(\displaystyle y=-4x-2\) с угловым коэффициентом \(\displaystyle -4\small.\) Значит,
\(\displaystyle k=-\frac{1}{-4}=\frac{1}{4}\small.\)
Прямая \(\displaystyle y=\frac{1}{4}x+b\) проходит через точку \(\displaystyle A(-6;\,3)\small.\) Тогда подставим ее координаты в уравнение и найдем \(\displaystyle b{\small:}\)
\(\displaystyle 3=\frac{1}{4}\cdot(-6)+b\small,\)
\(\displaystyle b=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\small.\)
То есть искомое уравнение прямой
\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x+\frac{9}{2}\small.\)
Домножим обе части на \(\displaystyle 4\) и перенесем все влево, получаем:
\(\displaystyle -x+4y-18=0\small.\)
Ответ: \(\displaystyle -x+4y-18=0\small.\)