Напишите уравнение окружности, диаметром которой является отрезок \(\displaystyle MN\small,\) где координаты точек \(\displaystyle M(3;\,-1)\) и \(\displaystyle N(6;\,-6)\small.\)
Окружность с центром \(\displaystyle O(x_0;\,y_0)\) и радиусом \(\displaystyle R\) задается уравнением
\(\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\small.\)
Чтобы решить задачу:
- найдем центр окружности,
- найдем радиус окружности,
- подставим координаты центра и радиус в уравнение окружности.
1. Центр окружности является серединой диаметра.
Тогда, если точка \(\displaystyle O\) середина отрезка \(\displaystyle MN\small,\) то она центр окружности с диаметром \(\displaystyle MN\small.\)
Зная координаты \(\displaystyle M(3;\,-1)\) и \(\displaystyle N(6;\,-6)\small,\) найдем координаты середины отрезка.
Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов:
\(\displaystyle O\left(\frac{3+6}{2};\,\frac{-1+(-6)}{2}\right)=O\left(\frac{9}{2};\,-\frac{7}{2}\right)\small.\)
2. Радиус окружности равен длине отрезка \(\displaystyle OM\small.\)
\(\displaystyle OM=\sqrt{\left(\frac{9}{2}-3\right)^2+\left(-\frac{7}{2}-(-1)\right)^2}=\frac{\sqrt{34}}{2}\small.\)
То есть необходимо найти уравнение окружности с центром \(\displaystyle O\) и радиусом \(\displaystyle R=OM=\frac{\sqrt{34}}{2}\small.\)
3. Подставляя в уравнение окружности координаты \(\displaystyle O\left(\frac{9}{2};\,-\frac{7}{2}\right)\) и радиус \(\displaystyle R=\frac{\sqrt{34}}{2}\small,\) получаем:
\(\displaystyle \left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\left(y-\left(-\frac{7}{2}\right)\right)^2=\left(\frac{\sqrt{34}}{2}\right)^2\small,\)
\(\displaystyle \left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\left(y+\frac{7}{2}\right)^2=\frac{17}{2}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\left(y+\frac{7}{2}\right)^2=\frac{17}{2}\small.\)