Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и проходящей через точку \(\displaystyle A(3,\,6)\)
Окружность с центром \(\displaystyle O(x_0;\,y_0)\) и радиусом \(\displaystyle R\) задается уравнением
\(\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\small.\)
Чтобы решить задачу:
- найдем радиус окружности,
- подставим координаты центра и радиус в уравнение окружности.
1. Построим рисунок, на котором отмечены точка \(\displaystyle A\) и начало координат \(\displaystyle O\small{:}\)
Тогда по теореме Пифагора
\(\displaystyle OA^2=3^2+6^2=45\small,\)
\(\displaystyle OA=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\small.\)
То есть необходимо найти уравнение окружности с центром \(\displaystyle O(0;\,0)\) и радиусом \(\displaystyle OA=3\sqrt{5}\small.\)
2. Подставляя в уравнение окружности координаты \(\displaystyle O(0;\,0)\) и радиус \(\displaystyle R=OA=3\sqrt{5}\small,\) получаем:
\(\displaystyle (x-0)^2+(y-0)^2=(3\sqrt{5})^2\small,\)
\(\displaystyle x^2+y^2=45\small.\)