\(\displaystyle a=2{,}1234...\) и \(\displaystyle b=1{,}4536...\)
Найдите приближения чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с недостатком и с избытком с точностью до \(\displaystyle 0{,}001\) и оцените сумму чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small .}\)
\(\displaystyle <a+b<\)
Какое наибольшее количество первых цифр числа \(\displaystyle a+b\) можно определить, используя найденную оценку? Запишите эти цифры в поля ответа.
| \(\displaystyle a+b=\) | \(\displaystyle ,\) | \(\displaystyle ...\) | |
цифры | цифры |
1. Найдём приближения чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с недостатком и с избытком с точностью до \(\displaystyle 0{,}001{\small }\) и запишем соответствующие двойные неравенства.
Для числа \(\displaystyle a=2{,}1234...\)
- приближение с недостатком – это \(\displaystyle 2{,}123{\small ,}\\[-1ex]\)
- приближение с избытком – это \(\displaystyle 2{,}124{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{Blue} {2{,}123<a<2{,}124}{\small .}\)
Для числа \(\displaystyle b=1{,}4536...\)
- приближение с недостатком – это \(\displaystyle 1{,}453{\small ,}\\[-1ex]\)
- приближение с избытком – это \(\displaystyle 1{,}454{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{Magenta}{1{,}453<b<1{,}454}{\small .}\)
Сложим данные двойные неравенства и оценим сумму чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small :}\\[-2ex]\)
\(\displaystyle \begin{array}{ccccc}\color{Blue}{2{,}123} & \color{Blue}{<} & \color{Blue}{a} & \color{Blue}{<} & \color{Blue}{2{,}124} \\[0.5ex]\color{Magenta}{1{,}453} &\color{Magenta}{ < }& \color{Magenta}{b} & \color{Magenta}{< }& \color{Magenta}{1{,}454 }\\[0.5ex]\hline \\[-1.5ex]3{,}576 & < & a+b & < & 3{,}578\end{array} \)
2. Выясним, сколько первых цифр суммы чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) мы можем точно определить.
Из полученного двойного неравенства
\(\displaystyle 3{,}576 < a+b < 3{,}578\)
следует:
- первая цифра точно равна \(\displaystyle 3{\small ,}\)
- вторая цифра точно равна \(\displaystyle 5{\small ,}\)
- третья цифра точно равна \(\displaystyle 7{\small ,}\)
- четвёртая цифра не меньше \(\displaystyle 6\) и меньше \(\displaystyle 8, \) то есть может быть равна
\(\displaystyle 1)\,6{\small ,}\) например, \(\displaystyle 3{,}5760 < 3{,}5761 < 3{,}5780{\small ,}\)
\(\displaystyle 2)\,7{\small ,}\) например, \(\displaystyle 3{,}5760 < 3{,}5771 < 3{,}5780{\small .}\\[-2ex]\)
Значит, по полученной оценке суммы можем гарантированно определить только первые три цифры.
Таким образом,
\(\displaystyle a+b =3{,}57...{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 3{,}576 < a+b < 3{,}578{\small ;}\)
\(\displaystyle a+b =3{,}57...{\small .}\)