\(\displaystyle a=8{,}7314...\) и \(\displaystyle b=-10{,}1427...\)
Найдите приближения чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с недостатком и с избытком с точностью до \(\displaystyle 0{,}001\) и оцените сумму чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small .}\)
\(\displaystyle <a+b<\)
Какое наибольшее количество первых цифр числа \(\displaystyle a+b\) можно определить, используя найденную оценку? Запишите эти цифры в поля ответа.
| \(\displaystyle a+b=\) | \(\displaystyle ,\) | \(\displaystyle ...\) | ||
цифры | цифры |
1. Найдём приближения чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с недостатком и с избытком с точностью до \(\displaystyle 0{,}001{\small }\) и запишем соответствующие двойные неравенства.
Для числа \(\displaystyle a=8{,}7314...\)
- приближение с недостатком – это \(\displaystyle 8{,}731{\small ,}\\[-1ex]\)
- приближение с избытком – это \(\displaystyle 8{,}732{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{Blue} {8{,}731<a<8{,}732}{\small .}\)
Для числа \(\displaystyle b=-10{,}1427...\)
- приближение с недостатком – это \(\displaystyle -10{,}143{\small ,}\\[-1ex]\)
- приближение с избытком – это \(\displaystyle -10{,}142{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{Magenta}{-10{,}143<b<-10{,}142}{\small .}\)
Сложим данные двойные неравенства и оценим сумму чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small :}\\[-2ex]\)
\(\displaystyle \begin{array}{ccccc}\color{Blue}{\,\,\,8{,}731} & \color{Blue}{<} & \color{Blue}{a} & \color{Blue}{<} & \color{Blue}{\,\,\,8{,}732} \\[0.5ex]\color{Magenta}{-10{,}143} &\color{Magenta}{ < }& \color{Magenta}{b} & \color{Magenta}{< }& \color{Magenta}{-10{,}142}\\[0.5ex]\hline \\[-1.5ex]-1{,}412& < & a+b & < & -1{,}410\end{array} \)
2. Выясним, сколько первых цифр суммы чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) мы можем точно определить.
Из полученного двойного неравенства
\(\displaystyle -1{,}412< a+b < -1{,}410\)
следует:
- первая цифра точно равна \(\displaystyle 1{\small ,}\)
- вторая цифра точно равна \(\displaystyle 4{\small ,}\)
- третья цифра точно равна \(\displaystyle 1{\small ,}\)
- четвертая цифра не меньше \(\displaystyle 0\) и меньше\(\displaystyle 2{\small , }\)то есть может быть равна
\(\displaystyle 1)\,0{\small ,}\) например, \(\displaystyle -1{,}4120 < -1{,}4101< -1{,}4100{\small ,}\)
\(\displaystyle 2)\,1{\small ,}\) например, \(\displaystyle -1{,}4120< -1{,}4111< -1{,}4100{\small .}\\[-2ex]\)
Значит, по полученной оценке суммы можем гарантированно определить только первые три цифры.
Таким образом,
\(\displaystyle a+b =-1{,}41...{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -1{,}412< a+b < -1{,}410{\small ;}\)
\(\displaystyle a+b =-1{,}41...{\small .}\)