Skip to main content

Теория: 10 Использование уравнений окружности и прямой при решении задач (короткая версия)

Задание

На плоскости отметили две точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\small.\) Известно, что \(\displaystyle AB=5\small.\) Найдите множество всех точек \(\displaystyle M\) таких, что

\(\displaystyle AM^2+BM^2=35\small.\)

Чему равен радиус окружности, на которой лежат все такие точки \(\displaystyle M?\)

\(\displaystyle R=\)
1,5\sqrt{5}

Информация

Указание

Для упрощения вычислений введите систему координат так, чтобы:

  • началом координат была середина отрезка \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • отрезок \(\displaystyle AB\) лежал на оси абсцисс.

Решение

Введем прямоугольную систему координат так, что:

  • середина отрезка \(\displaystyle AB\) – начало координат;
  • отрезок \(\displaystyle AB\) лежит на оси абсцисс.

Тогда координаты точек: \(\displaystyle A(-2{,}5;\,0),\,B(2{,}5;\,0)\small.\)

Пусть точка \(\displaystyle M \) имеет координаты \(\displaystyle (x;\,y)\small.\)

Тогда, используя формулу расстояния между точками, находим:

  • \(\displaystyle AM^2=(x+2{,}5)^2+y^2\small,\)
  • \(\displaystyle BM^2=(x-2{,}5)^2+y^2\small.\)

Подставляя в формулу, предложенную в условии, получаем:

\(\displaystyle AM^2+BM^2=35\small,\)

\(\displaystyle \left((x+2{,}5)^2+y^2\right)+\left((x-2{,}5)^2+y^2\right)=35\small.\)

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:

\(\displaystyle x^2+y^2=11{,}25\small.\)

Получили уравнение окружности. То есть все точки \(\displaystyle M\) лежат на окружности, заданной уравнением:

\(\displaystyle x^2+y^2=11{,}25\small.\)

То есть радиус окружности, на которой лежат все точки \(\displaystyle M{ \small ,}\) равен

\(\displaystyle \sqrt{11{,}25}=1{,}5\sqrt{5}\)

Ответ: \(\displaystyle R=1{,}5\sqrt{5}\small.\)

Замечание / комментарий

Можно было ввести систему координат по-другому:

Тогда после упрощения уравнение на координаты имеет вид:

\(\displaystyle x^2-5x+y^2=5\small.\)

Теперь, чтобы получить уравнение окружности в стандартном виде, необходимо выделить полный квадрат:

\(\displaystyle \left(x^2-5x+\left(\frac{5}{2}\right)^2\right)-\left(\frac{5}{2}\right)^2+y^2=5\small,\)

\(\displaystyle \left(x-\frac{5}{2}\right)^2+y^2=5+\left(\frac{5}{2}\right)^2\small,\)

\(\displaystyle \left(x-2{,}5\right)^2+y^2=11{,}25\small,\)

Получили окружность с центром \(\displaystyle (2{,}5;\,0)\) и радиусом \(\displaystyle \sqrt{11{,}25}\small.\)