На плоскости отметили две точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\small.\) Известно, что \(\displaystyle AB=5\small.\) Найдите множество всех точек \(\displaystyle M\) таких, что
\(\displaystyle AM=3BM\small.\)
Чему равен радиус окружности, на которой лежат все такие точки \(\displaystyle M?\)
Введем прямоугольную систему координат так, что:
- точка \(\displaystyle A\) – начало координат;
- отрезок \(\displaystyle AB\) лежит на оси абсцисс.
Тогда координаты точек: \(\displaystyle A(0;\,0),\,B(5;\,0)\small.\)
Пусть точка \(\displaystyle M \) имеет координаты \(\displaystyle (x;y)\small.\)
- \(\displaystyle AM=\sqrt{x^2+y^2}\small,\)
- \(\displaystyle BM=\sqrt{(x-5)^2+y^2}\small.\)
Подставляя в формулу, предложенную в условии, получаем:
\(\displaystyle AM=3BM\small,\)
\(\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=3\sqrt{(x-5)^2+y^2}\small.\)
Обе части уравнения неотрицательны как квадратные корни. Поэтому можно возвести в квадрат обе части, чтобы избавиться от корней:
\(\displaystyle x^2+y^2=9\left((x-5)^2+y^2\right)\small.\)
\(\displaystyle x^2-\frac{45}{4}x+\frac{225}{8}+y^2=0\small.\)
\(\displaystyle x^2-\frac{45}{4}x+\frac{225}{8}+y^2=0\small,\)
\(\displaystyle x^2-\frac{45}{4}x+\left(\frac{45}{8}\right)^2-\left(\frac{45}{8}\right)^2+\frac{225}{8}+y^2=0\small,\)
\(\displaystyle \left(x-\frac{45}{8}\right)^2-\frac{225}{64}+y^2=0\small.\)
Получили уравнение окружности:
\(\displaystyle \left(x-\frac{45}{8}\right)^2+y^2=\frac{225}{64}\small.\)
Тогда ее радиус равен:
\(\displaystyle R=\sqrt{\frac{225}{64}}=\frac{15}{8}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle R=\frac{15}{8}\small.\)