Skip to main content

Теория: 06 Рациональные неравенства и метод интервалов: разложение на множители и правило чередования знаков

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle (x^2-x)(16-x^2)> 0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in\) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Решим неравенство:

\(\displaystyle (x^2-x)(16-x^2)> 0{\small .}\)

Заметим, что

  • \(\displaystyle x^2-x=x(x-1) {\small ,}\)
  • \(\displaystyle 16-x^2=4^2-x^2=(4-x)(4+x) {\small .}\)

Значит, 

\(\displaystyle (x^2-x)(16-x^2)=x(x-1)(4-x)(4+x){\small .}\)

Перепишем исходное неравенство в виде 

\(\displaystyle x(x-1)(4-x)(4+x) > 0{\small }\)

и решим его методом интервалов.

 

Шаг 1. Найдем нули функции \(\displaystyle f(x)= x(x-1)(4-x)(4+x){\small .}\)

Решим уравнение

\(\displaystyle x(x-1)(4-x)(4+x)=0{\small .}\)

\(\displaystyle x=\color{blue}{0}{\small ,}\)или\(\displaystyle x-1=0{\small ,}\)или\(\displaystyle 4-x=0{\small ,}\)или\(\displaystyle 4+x=0{\small ,}\)
  \(\displaystyle x=\color{blue}{1}{\small ,}\) \(\displaystyle x=\color{blue}{4}{\small ,}\) \(\displaystyle x=\color{blue}{-4}{\small .}\)

 

Шаг 2. Нанесем на координатную прямую нули функции. 

Так как знак неравенства строгий, все нули обозначаются выколотыми точками.

Получили \(\displaystyle 5\) интервалов:

 

Шаг 3. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)= x(x-1)(4-x)(4+x)\) на каждом из полученных интервалов.

На интервале \(\displaystyle (4;+\infty)\) \(\displaystyle f(x)< 0{\small ,}\) поэтому пишем знак минус.

Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:

Правило

Расстановка знаков в методе интервалов для рациональной функции \(\displaystyle f(x)\)

  1. Определяем знак функции \(\displaystyle f(x)\) на одном интервале (например, самом правом).
  2. При переходе через очередную отмеченную точку \(\displaystyle a\) смотрим, в какой степени входит линейный множитель \(\displaystyle (x-a)\) в выражение \(\displaystyle f(x){\small:}\)
    • если степень нечётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) меняем на противоположный;
    • если степень чётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) не меняем.

В нашем случае в выражение

\(\displaystyle f(x)= x(x-1)(4-x)(4+x)\)

все линейные множители входят в первой (нечётной) степени.

Значит, знаки функции на интервалах чередуются.

В итоге получаем:


Решение неравенства  \(\displaystyle x(x-1)(4-x)(4+x) > 0\) – объединение промежутков, на которых функция \(\displaystyle f(x)\) положительна:

\(\displaystyle (-4;0) \cup (1;4){\small .}\) 


Ответ: \(\displaystyle x \in (-4;0) \cup (1;4) {\small .}\)