Skip to main content

Теория: 06 Рациональные неравенства и метод интервалов: разложение на множители и правило чередования знаков

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle (x^3-2x^2)(x^2-4)< 0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in\) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Решим неравенство:

\(\displaystyle (x^3-2x^2)(x^2-4)< 0{\small .}\)

Заметим, что

  • \(\displaystyle x^3-2x^2=x^2(x-2) {\small ,}\)
  • \(\displaystyle x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) {\small .}\)

Значит, 

\(\displaystyle (x^3-2x^2)(x^2-4)=x^2(x-2)(x-2)(x+2)=x^2(x-2)^2(x+2){\small .}\)

Перепишем исходное неравенство в виде 

\(\displaystyle x^2(x-2)^2(x+2)< 0{\small }\)

и решим его методом интервалов.

 

Шаг 1. Найдем нули функции \(\displaystyle f(x)=x^2(x-2)^2(x+2){\small .}\)

Решим уравнение

\(\displaystyle x^2(x-2)^2(x+2)=0{\small .}\)

\(\displaystyle x^2=0{\small ,}\)или\(\displaystyle (x-2)^2=0{\small ,}\)или\(\displaystyle x+2=0{\small ,}\)
  \(\displaystyle x-2=0{\small ,}\)  
\(\displaystyle x=\color{blue}{0}{\small ,}\) \(\displaystyle x=\color{blue}{2}{\small ,}\) \(\displaystyle x=\color{blue}{-2}{\small .}\)

 

Шаг 2. Нанесем на координатную прямую нули функции. 

Так как знак неравенства строгий, все нули обозначаются выколотыми точками.

Получили \(\displaystyle 4\) интервала:

 

Шаг 3. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)= x^2(x-2)^2(x+2)\) на каждом из полученных интервалов.

На интервале \(\displaystyle (2;+\infty)\) \(\displaystyle f(x)> 0{\small ,}\) поэтому пишем знак плюс.

Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:

Правило

Расстановка знаков в методе интервалов для рациональной функции \(\displaystyle f(x)\)

  1. Определяем знак функции \(\displaystyle f(x)\) на одном интервале (например, самом правом).
  2. При переходе через очередную отмеченную точку \(\displaystyle a\) смотрим, в какой степени входит линейный множитель \(\displaystyle (x-a)\) в выражение \(\displaystyle f(x){\small:}\)
    • если степень нечётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) меняем на противоположный;
    • если степень чётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) не меняем.

В нашем случае в выражение

\(\displaystyle f(x)=x^{\color{red}{2}}(x-2)^{\color{red}{2}}(x+2)\)

  • множитель \(\displaystyle (x+2)\) входит в нечётной (первой) степени, поэтому при переходе через точку \(\displaystyle -2\) знак меняем на противоположный;
  • множители \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle (x-2)\) входят в чётной (второй) степени, поэтому при переходе через точки \(\displaystyle 0\) и \(\displaystyle 2\) знак не меняем.

В итоге получаем:


Решение неравенства  \(\displaystyle x^2(x-2)^2(x+2) < 0\) – объединение промежутков, на которых функция \(\displaystyle f(x)\) отрицательна. Такой промежуток один:

\(\displaystyle (-\infty;-2){\small .}\) 


Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;-2) {\small .}\)