Skip to main content

Теория: 06 Рациональные неравенства и метод интервалов: разложение на множители и правило чередования знаков

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle (x^2-2x)(x^2+2x-8)(x^2-x+2)< 0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in\) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Решим неравенство:

\(\displaystyle (x^2-2x)(x^2+2x-8)(x^2-x+2)< 0{\small .}\)

Заметим, что

  • \(\displaystyle x^2-2x=x(x-2) {\small ,}\)

   •   \(\displaystyle x^2+2x-8=(x-2)(x+4) {\small ,}\)

   •  трёхчлен \(\displaystyle x^2-x+2{\small }\) нельзя разложить на множители.

Значит, 

\(\displaystyle (x^2-2x)(x^2+2x-8)(x^2-x+2)=x(x-2)(x-2)(x+4)(x^2-x+2)={\small }\)

\(\displaystyle =x(x-2)^2(x+4)(x^2-x+2){\small .}\)

Перепишем исходное неравенство в виде 

\(\displaystyle x(x-2)^2(x+4)(x^2-x+2)< 0{\small }\)

и решим его методом интервалов.

 

Шаг 1. Найдем нули функции \(\displaystyle f(x)=x(x-2)^2(x+4)(x^2-x+2){\small .}\)

Нули функции \(\displaystyle f(x)=x(x-2)^2(x+4)(x^2-x+2){\small :}\)

\(\displaystyle x=-4{\small ,}\) \(\displaystyle x=0{\small ,}\) \(\displaystyle x=2{\small .}\)

 

Шаг 2. Нанесем на координатную прямую нули функции. 

Так как знак неравенства строгий, все нули обозначаются выколотыми точками.

Получили \(\displaystyle 4\) интервала:

 

Шаг 3. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)= x(x-2)^2(x+4)(x^2-x+2)\) на каждом из полученных интервалов.

Заметим, что множитель \(\displaystyle \color{red}{x^2-x+2}\) принимает только положительные значения при любых \(\displaystyle x{\small }\) (поскольку дискриминант квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{x^2-x+2}=0{\small }\) отрицательный, а старший коэффициент \(\displaystyle 1>0){\small .}\)

Значит, знаки функции \(\displaystyle f(x)= x(x-2)^2(x+4)(\color{red}{x^2-x+2})\) совпадают со знаками функции \(\displaystyle g(x)= x(x-2)^2(x+4)\)

На интервале \(\displaystyle (2;+\infty)\) \(\displaystyle g(x)> 0{\small ,}\) поэтому пишем знак плюс.

Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:

Правило

Расстановка знаков в методе интервалов для рациональной функции \(\displaystyle f(x)\)

  1. Определяем знак функции \(\displaystyle f(x)\) на одном интервале (например, самом правом).
  2. При переходе через очередную отмеченную точку \(\displaystyle a\) смотрим, в какой степени входит линейный множитель \(\displaystyle (x-a)\) в выражение \(\displaystyle f(x){\small:}\)
    • если степень нечётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) меняем на противоположный;
    • если степень чётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) не меняем.

В нашем случае в выражение

\(\displaystyle g(x)=x(x-2)^{\color{red}{2}}(x+4)\)

  • множители \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle (x+4)\) входят в нечётной (первой) степени, поэтому при переходе через точки \(\displaystyle 0\) и \(\displaystyle -4\) знак меняем на противоположный;
  • множитель \(\displaystyle (x-2)\) входит в чётной (второй) степени, поэтому при переходе через точку \(\displaystyle 2\) знак не меняем.

В итоге получаем:


Решение неравенства  \(\displaystyle x(x-2)^2(x+4)(x^2-x+2) < 0\) – объединение промежутков, на которых функция \(\displaystyle f(x)\) отрицательна. Такой промежуток один:

\(\displaystyle (-4; \, 0){\small .}\) 


Ответ: \(\displaystyle x \in (-4; \, 0) {\small .}\)