Теория: 06 Рациональные неравенства и метод интервалов: разложение на множители и правило чередования знаков

Квадратный трёхчлен можно разложить на множители, используя правило

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x^2-5x+6=0{\small .}\)

\(\displaystyle {\rm D}=(-5)^2-4 \cdot 6=25-24=1{\small ; } \)

\(\displaystyle \sqrt {\rm D}=1{\small . } \)

\(\displaystyle \color{blue}{x_1}=\frac{ 5+1 }{ 2 }=\color{blue}{3}{ \small ,}\,\,\,\, \color{blue}{x_2}=\frac{5-1 }{ 2 }=\color{blue}{2} { \small .}\)

По правилу получаем:

\(\displaystyle x^2-5x+6=(x-\color{blue}{3})(x-\color{blue}{2}){\small .}\)

Для нахождения нулей  \(\displaystyle f(x)=x(x-2)^2(x-3) \) требуется решить уравнение

\(\displaystyle x(x-2)^2(x-3)=0{\small .}\)

Корни данного уравнения: 

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=x(x-2)^2(x-3)\) на одном из полученных интервалов.

Из интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем любое значение \(\displaystyle x{\small .}\) Например,\(\displaystyle x=10{\small :}\) 

\(\displaystyle f(10)=10\cdot(10-2)^2\cdot(10-3)>0{\small .}\)

Значит, на интервале \(\displaystyle (3;+\infty)\) \(\displaystyle f(x)> 0{\small ,}\) поэтому пишем знак плюс.

Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:

В нашем случае в выражение

\(\displaystyle f(x)=x(x-2)^{\color{red}{2}}(x-3)\)

• множители \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle (x-3)\) входят в нечётной (первой) степени, поэтому при переходе через точки \(\displaystyle 0\) и \(\displaystyle 3\) знак меняем на противоположный;
• множитель \(\displaystyle (x-2)\) входит в чётной (второй) степени, поэтому при переходе через точку \(\displaystyle 2\) знак не меняем.