Задание
Выберите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства
\(\displaystyle y \leqslant |x-4| {\small .}\)
| Рисунок \(\displaystyle \bf A\) | Рисунок \(\displaystyle \bf B\) | Рисунок \(\displaystyle \bf C\) | |
 |  |  |
Верный рисунок:
Решение
Решим неравенство
\(\displaystyle y \leqslant |x-4| {\small.}\)
По определению модуля получаем
\(\displaystyle |x-4|=\left\{\begin{aligned}&x-4, \, {\small если } \,\,x-4\geqslant 0{ \small ,}\\-(&x-4), \, {\small если } \,\,x-4< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
| При \(\displaystyle x-4\geqslant 0{\small,}\) то есть при \(\displaystyle x\geqslant 4{\small,}\) | При \(\displaystyle x-4< 0{\small,}\) то есть при \(\displaystyle x < 4{\small,}\) |
| исходное неравенство примет вид: | исходное неравенство примет вид: |
\(\displaystyle y\leqslant x-4 {\small.}\) | \(\displaystyle y \leqslant -x+4 {\small.}\) |
Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} &x \geqslant 4{ \small ,}\\ &y\leqslant x-4{\small } \end{aligned} \right.\) | и | \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} &x < 4{ \small ,}\\ &y\leqslant -x+4{\small .} \end{aligned} \right.\) |
Решим графически каждую из систем.
Решением первой системы является множество:
Решением второй системы является множество:
Объединив решения первой и второй систем, получим решение исходного неравенства:
Видим, что полученное множество изображено на рисунке \(\displaystyle \bf A {\small .}\)
Ответ: Верный рисунок: \(\displaystyle \bf A {\small .}\)