В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен \(\displaystyle 60^{\circ}\small,\) а гипотенуза равна \(\displaystyle 5\small.\) Найдите катет, лежащий напротив угла в \(\displaystyle 60^{\circ}\small.\)
В прямоугольном треугольнике с одним из острых углов \(\displaystyle 60^{\circ}\small,\) второй равен \(\displaystyle 30^{\circ}\small.\) Более того, в таком треугольнике катет, лежащий напротив угла \(\displaystyle 30^{\circ}\small,\) в два раза меньше гипотенузы. То есть \(\displaystyle AC=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}\small.\) |  |
В треугольнике \(\displaystyle ABC\) известны катет \(\displaystyle AC=\frac{5}{2}\) и гипотенуза \(\displaystyle AB=5\small.\)
Тогда по теореме Пифагора находим второй катет:
\(\displaystyle BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\small.\)
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
\(\displaystyle \color{green}{a}^2+\color{blue}{b}^2=\color{red}{c}^2\)
По теореме Пифагора для треугольника \(\displaystyle ABC\small,\) получаем:
\(\displaystyle AB^2=AC^2+BC^2\small.\)
Подставляя известные значения \(\displaystyle AC=\frac{5}{2}\) и \(\displaystyle AB=5\small,\) получаем:
\(\displaystyle 5^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2+BC^2\small.\)
Значит,
\(\displaystyle BC^2=5^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2=25-\frac{25}{4}=\frac{75}{4}\small.\)
Длина отрезка неотрицательное число, тогда:
\(\displaystyle BC=\sqrt{\frac{75}{4}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}\small.\)